高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）第一章导数及其应用一、知识体系：1．导数的概念如果函数)(xfy，则称)(xf在点0x处可导，并称此极限值为函数)(xfy在点0x处的导数，记为或。（答：满足xxfxxfx)()(000lim存在，00),(xxyxf）2．函数)(xfy，就说)(xf在区间（ba,）内可导，其导数也是（ba,）内的函数，叫做)(xf的导函数，记作或。（答：在开区间（a,b）内每一点都可导，yxf),(）3．函数y)(xf在点0x处可导是函数)(xfy在点0x处连续的条件。（答：充分而不必要）4．导数的几何意义：①设函数)(xfy在点0x处可导，那么等于函数所表示曲线的相应点),(00yxM处的切线斜率。（答：)(0xf）②设)(tss是位移函数，则表示物体在0tt时刻瞬时速度。（答：)(0ts）5．几种常见函数的导数：①c（答：0）②)(nx（答：nxn-1）③)(sinx（答：cosx）④)(cosx（答：-sinx）⑤)(xe（答：ex）⑥)(xa（答：axlna）⑦)(lnx（答：1x）⑧)(logxa（答：1xlogae）6．两个函数的四则运算的导数：若)(),(xvxu的导数都存在，则①)(vu（答：vu）②)(vu,)(cu（答：vuvu）③)(vu（答：2vvuvu）7．复合函数的导数：设，则复合函数))((xfy在点x处可导，且xy。（答：函数u=φ(x)在点x处有导数)(xux，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数)(ufyu，xuuy）8．函数的单调性：如果函数)(xfy在某个区间内可导，那么①若，则f(x)为增函数；（答：0)(xf）②若，则f(x)为增函数；（答：0)(xf）9．可导函数的极值：①极值定义如果函数f(x)在点x0附近有定义，那么对，我们就说)(0xf是函数一个极大值，记作)(0xfy极大值；对，我们就说)(0xf是函数的一个极小值，记作)(0xfy极小值；极大值与极小值统称为极值。（答：对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)）②极值判别法当函数)(xf在点0x连续时，极值判别法是：①如果，那么，)(0xf是极大值；（答：在x0附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf）②如果，那么，)(0xf是极小值。（答：在x0附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf）10．一般地，在上的函数)(xf在此区间上必有最大值与最小值。（答：闭区间[a,b],连续）11．设函数)(xf在ba,上连续，在ba,内可导，求)(xf在ba,上的最大值与最小值的步骤是：①；②。（答：①求f(x)在(a,b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。）二、典型例题示范：A组题（基础题）：1．函数xxxf1)(的导数是（）（答：D）(A)xx112(B)xx2112(C)xx2112(D)xx21122．函数2223432xxxxy的导数为。（答：324334xxxy）3．函数332xxy在点3x处的导数值为。（答：-16）4．设函数f(x)=cosx，则)2(f等于（）(答：B)（A）1（B）-1（C）0（D）不存在5．下列函数中，导数为),,0((1xx其中k为大于0的常数）的函数是（）(答：B)（A）)ln(kx（B）)ln(kx（C）xkln（D）2lnxkx6．设函数xeyxcos，则y等于（）（答：C）(A)xexcos(B)xexsin(C)xexexxsincos(D)xexexxsincos7．抛物线y=x2在点P(-1,1)处的切线的倾斜角为（）（答：D）（A）arctan2（B）arctan(-2)（C）arctan12（D）π-arctan28．曲线baxxy2与直线xy在点(1,1)处相切，则a=，b=。（答：1,1ba）9．曲线2)(3xxxf在0P点处的切线平行于直线14xy，求0P点的坐标。（答：（1，0）或（-1，-4））10．已知曲线y=x2在点P处切线与直线3x-y+1=0的夹角为450，求点P的坐标。(答：（-1，1），（14，116）)11．过原点作曲线xey的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为。（答：(1,e),e）12．函数126)(2xxxf的单调增区间为（）（答：B）(A))61,((B)),61((C))61,((D)),61(13．求)1ln(xxy的单调递增区间。（答：（0，+∞））14．函数)2,0(,sin1)(xxxxf，则函数)(xf（）（答：A）(A)在)2,0(内是增函数(B)在)2,0(内是减函数(B)在),0(内是增函数，在)2,(内是减函数(D)在),0(内是减函数，在)2,(内是增函数15．函数y=|x2-3x+2|，下列结论中正确的是（）（答：C）（A）y有极小值14，但无极大值（B）y有极小值0，但无极大值（C）y有极小值0和极大值14（D）y有极大值14，但无极小值16．求16324xxy在2,2上的最大值。（答：2）17．求xexy在R上的最大值。（答：-1）18．讨论函数f(x)=bxx2-1(-1<...
