信息学奥赛一本通 第4章 第5节 并查集(C++版)VIP专享VIP免费

第五节并查集引入•在一些有N个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。这一类问题近几年来反复出现在信息学的国际国内竞赛题中，其特点是看似并不复杂，但数据量极大，若用正常的数据结构来描述的话，往往超过了空间的限制，计算机无法承受；即使在空间上能勉强通过，运行的时间复杂度也极高，根本不可能在比赛规定的运行时间内计算出试题需要的结果，只能采用一种特殊数据结构——并查集来描述。引例•【例4-9】、亲戚(relation)•【问题描述】•或许你并不知道，你的某个朋友是你的亲戚。他可能是你的曾祖父的外公的女婿的外甥女的表姐的孙子。如果能得到完整的家谱，判断两个人是否亲戚应该是可行的，但如果两个人的最近公共祖先与他们相隔好几代，使得家谱十分庞大，那么检验亲戚关系实非人力所能及。在这种情况下，最好的帮手就是计算机。为了将问题简化，你将得到一些亲戚关系的信息，如Marry和Tom是亲戚，Tom和Ben是亲戚，等等。从这些信息中，你可以推出Marry和Ben是亲戚。请写一个程序，对于我们的关于亲戚关系的提问，以最快的速度给出答案。•【输入格式】•输入由两部分组成。•第一部分以N，M开始。N为问题涉及的人的个数(1≤N≤20000)。这些人的编号为1,2,3,…,N。下面有M行(1≤M≤1000000)，每行有两个数ai,bi，表示已知ai和bi是亲戚。•第二部分以Q开始。以下Q行有Q个询问(1≤Q≤1000000)，每行为ci,di，表示询问ci和di是否为亲戚。引例•【输出格式】•对于每个询问ci,di，输出一行：若ci和di为亲戚，则输出“Yes”，否则输出“No”。•【输入样例】•107•24•57•13•89•12•56•23•3•34•710•89•【输出样例】•Yes•No•Yes引例•【算法分析】•将每个人抽象成为一个点，数据给出M个边的关系，两个人是亲戚的时候两点间有一条边。很自然的就得到了一个N个顶点M条边的图论模型，注意到传递关系，在图中一个连通块中的任意点之间都是亲戚。对于最后的Q个提问，即判断所提问的两个顶点是否在同一个连通块中。•用传统的思路，可以马上反应过来，对于输入的N个点M条边，找出连通块，然后进行判断。但这种实现思路首先必须保存M条边，然后再进行普通的遍历算法，效率显然不高。再进一步考虑，如果把题目的要求改一改，对于边和提问相间输入，即把题目改成：•第一行是N，M。N为问题涉及的人的个数(1≤N≤20000)。这些人的编号为1,2,3,…,N。下面有M行(1≤M≤2000000)，每行有三个数ki,ai,bi。ai,bi表示两个元素，ki为0或1，ki为1时表示这是一条边的信息，即ai,bi是亲戚关系；ki为0时表示是一个提问，根据此行以前所得到的信息，判断ai,bi是否亲戚，对于每条提问回答Yes或者No。•这个问题比原问题更复杂些，需要在任何时候回答提问的两个人的关系，并且对于信息提示还要能立即合并两个连通块。采用连通图思想显然在实现上就有所困难，因为要表示人与人之间的关系。引例用集合的思路，对于每个人建立一个集合，开始的时候集合元素是这个人本身，表示开始时不知道任何人是他的亲戚。以后每次给出一个亲戚关系时，就将两个集合合并。这样实时地得到了在当前状态下的集合关系。如果有提问，即在当前得到的结果中看两元素是否属于同一集合。对于样例数据的解释如下图1：•输入关系分离集合初始状态{1}{2}{3}{4}{5}{6}{7}{8}{9}{10}(2,4){1}{2,4}{3}{5}{6}{7}{8}{9}{10}(5,7){1}{2,4}{3}{5,7}{6}{8}{9}{10}(1,3){1,3}{2,4}{5,7}{6}{8}{9}{10}(8,9){1,3}{2,4}{5,7}{6}{8,9}{10}(1,2){1,2,3,4}{5,7}{6}{8,9}{10}(5,6){1,2,3,4}{5,6,7}{8,9}{10}(2,3){1,2,3,4}{5,6,7}{8,9}{10}图1由图1可以看出，操作是在集合的基础上进行的，没有必要保存所有的边，而且每一步得到的划分方式是动态的。那么，如何来实现以上的算法思想呢？我们就用到并查集。并查集的基本思想1、什么叫并查集并查集（union-findset）是一种用于分离集合操作的抽象数据类型。它所处理的是“集合”之间的关系，即动态地维护和处理集合元素之间复杂的关系，当给出两个元素的一...