高考理科立体几何大题VIP免费

一，[2017·山东济南调研]如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.(1)求证：AA1⊥平面ABC；(2)求二面角A1－BC1－B1的余弦值；(3)在线段BC1上是否存在点D，使得AD⊥A1B？若存在，试求出的值．(1)[证明]在正方形AA1C1C中，A1A⊥AC.又平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，AA1⊂平面AA1C1C.∴AA1⊥平面ABC.(2)[解]由(1)知，AA1⊥AC，AA1⊥AB，由题意知，在△ABC中，AC＝4，AB＝3，BC＝5，∴BC2＝AC2＋AB2，∴AB⊥AC.∴以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系A－xyz.A1(0,0,4)，B(0,3,0)，C1(4,0,4)，B1(0,3,4)，于是A1C1＝(4,0,0)，A1B＝(0,3，－4)，B1C1＝(4，－3,0)，BB1＝(0,0,4)．设平面A1BC1的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面B1BC1的法向量n2＝(x2，y2，z2)．∴⇒∴取向量n1＝(0,4,3)．由⇒∴取向量n2＝(3,4,0)．∴cosθ＝＝＝.由题图可判断二面角A1－BC1－B1为锐角，故二面角A1－BC1－B1的余弦值为.(3)[解]假设存在点D(x，y，z)是线段BC1上一点，使AD⊥A1B，且BD＝λBC1，∴(x，y－3，z)＝λ(4，－3,4)，解得x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ，∴AD＝(4λ，3－3λ，4λ)．又AD⊥A1B，∴0＋3(3－3λ)－16λ＝0，解得λ＝， ∈[0,1]，∴在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，此时＝.二，如图，在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．[解]以{AB，AD，AP}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则各点的坐标为B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．(1)由题意知，AD⊥平面PAB，所以AD是平面PAB的一个法向量，AD＝(0,2,0)．因为PC＝(1,1，－2)，PD＝(0,2，－2)．设平面PCD的法向量为m＝(x，y，z)，则m·PC＝0，m·PD＝0，即令y＝1，解得z＝1，x＝1.所以m＝(1,1,1)是平面PCD的一个法向量．从而cos〈AD，m〉＝＝，所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为.(2)因为BP＝(－1,0,2)，设BQ＝λBP＝(－λ，0,2λ)(0≤λ≤1)，又CB＝(0，－1,0)，则CQ＝CB＋BQ＝(－λ，－1,2λ)，又DP＝(0，－2,2)，从而cos〈CQ，DP〉＝＝.设1＋2λ＝t，t∈[1,3]，则cos2〈CQ，DP〉＝＝≤.当且仅当t＝，即λ＝时，|cos〈CQ，DP〉|的最大值为.因为y＝cosx在上是减函数，所以此时直线CQ与DP所成角取得最小值．又因为BP＝＝，所以BQ＝BP＝.三，[2016·浙江卷]如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.(1)求证：BF⊥平面ACFD；(2)求二面角B－AD－F的平面角的余弦值．(1)[证明]延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示．因为平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，因此BF⊥AC.又EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK，又AC∩CK＝C，所以BF⊥平面ACFD.(2)[解]解法一：过点F作FQ⊥AK于Q，连接BQ.因为BF⊥平面ACK，所以BF⊥AK，则AK⊥平面BQF，所以BQ⊥AK.所以∠BQF是二面角B－AD－F的平面角．在Rt△ACK中，AC＝3，CK＝2，得AK＝，FQ＝.在Rt△BQF中，FQ＝，BF＝，得cos∠BQF＝.所以二面角B－AD－F的平面角的余弦值为.解法二：如图，延长AD，BE，CF相交于一点K，则△BCK为等边三角形．取BC的中点O，连接KO，则KO⊥BC，又平面BCFE⊥平面ABC，所以KO⊥平面ABC.以点O为原点，分别以射线OB，OK的方向为x轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O－xyz.由题意，得B(1,0,0)，C(－1,0,0)，K(0,0，)，A(－1，－3，0)，E，F.因此，AC＝(0,3,0)，AK＝(1,3，)，AB＝(2,3,0)．设平面ACK的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面ABK的法向量为n＝(x2，y2，z2)．由得取m＝(，0，－1)；由得取n＝(3，－2，)．于是cos〈m，n〉＝＝.所以二面角B－AD－F的平面角的余弦值为.四，[2016·河南九校联考](本小题满分15分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2，BC＝4，PA＝2，点M在PD上．(1)求证：AB⊥PC；(2)若二面角M－AC－D的大小为45°，...