方程的根与函数的零点教案设计教学目标:理解函数零点的定义,了解函数零点与方程根的等价关系,理解函数零点存在性定理,能够判断函数零点个数和所在区间。教学重点:方程的根与函数零点的等价关系,函数零点存在性定理。教学难点:探究函数零点存在的条件。教学过程:(一)新课引入1.同学们,通过第二章的学习,我们已经认识了指数函数、对数函数、幂函数这些初等函数的定义、图象和性质,今天,我们开始学习第三章《函数的应用》。本章我们将运用函数的思想,建立函数模型,去解决现实生活中的一些简单问题。为此,今天的课,我们就是要准备必需要的工具。2.下面给出三个方程:(1);(2);(3)。这三个方程你能求出它们的根吗?我们看方程(1),一元二次方程,它有两个实数根-1,。它可以用十字相乘法或求根公式求解;方程(2)呢,它是一个一元五次方程。次数越高,方程越复杂。数学史上,人们总希望象低次方程那样去求解,但经过长期努力,都无果而终,事实上不可能。1824年,22岁的挪威天才数学家阿贝尔(N.H.Abel,1802—1829)成功地证明了五次及以上的一般方程没有根式解;方程(3)呢?有实数根吗?它不是一元二次方程,没有,没有求根公式,也不可能去求解。因此,(2)(3)用我们现有的方法去求解的路被堵上了。这就促使我们转换角度来研究方程的根:利用函数的性质、图象去探究方程的根的情形。首先我们从熟悉的一元二次方程及其对应的二次函数入手。(二)新授课例1(1)解下列一元二次方程:,,。(2)画出下列函数的图象:,,。通过表格与图象,从具体的二次函数上升到一般的二次函数,剖析一元二次方程的根与对应的二次函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系。从而得出结论。结论:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标。那么,方程的根,是函数图象与x轴交点的横坐标。对方程,把它称为根;对图象,是与x轴交点的横坐标。对于函数,又该把它称为什么?揭示课题板书课题:方程的根与函数的零点教师活动:我们把使方程f(x)=0成立的实数x称作函数y=f(x)的零点。这是我们本节课的第一个知识点。板书:1.函数零点的定义:对于函数y=f(x),使方程f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点(zeropoint)。教师活动:屏幕显示函数的图象。学生活动:观察图象,思考作答。教师活动:我们可以看出:函数有零点-1、3,-1、3具有三重角色:对方程,它是实数根,使得方程成立;对函数,它是零点,是函数的自变量,使得函数值为零;对函数图象,它是图象与x轴交点的横坐标。教师活动:所以函数有零点,方程就有实数根,函数图象就与x轴有交点。对于函数y=f(x)有零点x0,从“数”的角度理解,就是方程f(x)=0有实数根x0;从“形”的角度理解,就是函数图象与x轴有交点(x0,0)。即是说,函数有零点,等价于函数图象与x轴有交点。从我们刚才的探究过程中知道,方程f(x)=0有实数根和图象与x轴有交点也是等价关系。所以函数零点实际上是方程f(x)=0有实根,图象与x轴有交点的三者的一个统一体。板书:2.方程的根与函数零点的等价关系教师活动:我们可不可以这样认为,零点就是使函数值为0的点?任意函数都有零点吗?你能给出一些具体函数吗?(抽学生回答)怎样判断一个函数是否有零点呢?学生活动:对比定义,思考作答。教师活动:一个函数是否有零点,就是看它的图象与x轴是否有交点。那么,我们又如何判定一个函数的图象与x轴是否有交点呢?教师活动:下面我们思考四个问题:请大家一边思考一边画出函数的草图。思考1:函数f(x)=2x-1的零点是什么?函数f(x)=2x-1函数值在零点两侧如何变化?思考2:二次函数f(x)=x2-2x-3的零点是什么?函数值在零点附近如何变化?思考3:如果函数y=f(x)在区间[1,2]上的图象是连续不断的一条曲线,那么在下列哪些条件下,函数y=f(x)在区间(1,2)内一定有零点?①f(1)>0,f(2)>0②f(1)>0,f(2)<0③f(1)<0,f(2)<0④f(1)<0,f(2)>0思考4:一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,那么在什么条件下,函数y=f(x)在区间(a,b)内一定有零点?教师活动:我们看到,当...