空间向量的线面关系的判定VIP免费

复习回顾：1、非零向量，的充要条件是ab0ab2、设向量的夹角为，则abcosab3、共面向量定理如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是,abp�,ab存在有序实数组,xy，使得：pxayb�4、直线的方向向量是l平面的法向量与的位置关系是nn,abel,ab问题：如何求平面的法向量？),,()1(zyxn设出平面的法向量为),,(),,,()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的111222(3),,0000xyzaxbycznanbaxbycz根据法向量的定义建立关于的方程组个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4(平面的法向量不惟一，合理取值即可。思考：我们能不能用直线的方向向量和平面法向量来刻画空间线面位置关系？l1l21e�2e�12//ll1212//eeee�l11e�l22e�12ll12120eeee�l11n�1e�11//l11110enen�11l1n�1111//enen�l1e�11n�22n�12//1212//nnnn�11n�22n�1212110nnnn�设空间两条直线的方向向量为两个平面的法向量分别为12,ee12,ll12,12,nn平行垂直12ll与11l与12与1e12ee11en1e1n12nn2e1n2nOBDCA例1、如图，是平面的一条斜线，为斜足，，为垂足，，且求证：OBOABACDCDOACDOB在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理）变式练习：写出三垂线定理的逆定理，并用向量的方法加以证明。三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。OBDCA已知：如图，是平面的一条斜线，为斜足，，为垂足，，且求证：OBOABACDCDOBCDOA例2、证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（直线与平面垂直的判定定理）lmn已知：如图，求证：,mn,,mnBlmlnlBllmm�nng�g分析：要证明直线与平面垂直，只要证明该直线垂直于平面内任意一条直线。B,lmln0,0lmlm��mn与相交mn�与不共线又,,mng�共面存在有序实数组,xy使得，gxmyn�lglxmynxlmylmo��例3、如图，在直三棱柱-中，是棱的中点，求证：ABC111ABC190,30,1,6,ACBBACBCAAM1CC1ABAM1B1A1CABCM9030161B1A1CABCM903016证明：在直三棱柱-中，因为，所以因为，而所以，所以在中，因为所以ABC111ABC1AAAC10AAAC�CMABC平面ABABC平面CMAB0CMAB�RtABC1,30BCBAC3,2ACAB3cos302332ABACABAC�所以因为，，且是棱中点，所以，所以CM�1AA�16AAM1CC62CM�11cos1803AACMAACM�1B1A1CABCM903016所以：11ABAMAAABACCM�11AAACAACMABCM�0所以：即，1ABAM�1ABAM1B1A1CABCM903016思考：还有其它的证明方法吗？利用相似形与线面垂直分析：连结交于点因为所以，要证就是证即证1AC11ABACCB�AMO10ABAM�10ACCBAM�10ACAMCBCM�1、利用相似可以证明，从而1ACMAAC和1ACAM10ACAM�2、利用知道，即1CBACC1平面ACBAM0CBAM�1B1A1CABCM903016O你能试着建立适当的空间直角坐标系，用坐标表示向量，再证明它们互相垂直吗？1C1B1AABCM9030161C1B1AABCM903016xyz证明：分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系1,,CACBCCxyzCxyz图中相应点的坐标为：13,1,6A3,0,0A所以：163,0,6,3,0,2ABAM�所以：0ABAM�即，1ABAM1C1B1AABCM903016xyz323,1,60,1,03,0,060,0,2...