建立空间直角坐标系,解立体几何题VIP免费

建立空间直角坐标系，解立体几何高考题立体几何重点、热点：求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等．常用公式：1、求线段的长度：2、求P点到平面的距离：，（N为垂足，M为斜足，为平面的法向量）3、求直线l与平面所成的角：，(,,为的法向量)4、求两异面直线AB与CD的夹角：5、求二面角的平面角：，（，为二面角的两个面的法向量）6、求二面角的平面角：，（射影面积法）7、求法向量：①找；②求：设为平面内的任意两个向量，为的法向量，则由方程组，可求得法向量．高中新教材9(B)引入了空间向量坐标运算这一内容，使得空间立体几何的平行﹑垂直﹑角﹑距离等问题避免了传统方法中进行大量繁琐的定性分析，只需建立空间直角坐标系进行定量分析，使问题得到了大大的简化。而用向量坐标运算的关键是建立一个适当的空间直角坐标系。一﹑直接建系。1当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系例1.(2002年全国高考题)如图，正方形ABCD﹑ABEF的边长都是1，而且平面ABCD﹑ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（）。（1）求MN的长；（2）当a为何值时，MN的长最小；（3）当MN最小时，求面MNA与面MNB所成二面角α的大小。解：（1）以B为坐标原点，分别以BA﹑BE﹑BC为x﹑y﹑z轴建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，由CM=BN=a，M(，0，),N（，，0）∴=(0，，)∴==（）（2）由（1）=所以，当a=时，=，即M﹑N分别移动到AC﹑BF的中点时，MN的长最小，最小值为。（3）取MN的中点P，连结AP﹑BP，因为AM=AN，BM=BN，所以AP⊥MN，BP⊥MN，∠APB即为二面角α的平面角。MN的长最小时M(，0，),N（，，0）由中点坐标公式P(，，),又A（1，0，0），B（0，0，0）∴=(，-，-)，=(-，-，-)∴cos∠APB===-∴面MNA与面MNB所成二面角α的大小为π-arccos例2.(1991年全国高考题)如图，已知ABCD是边长为4的正方形，E﹑F分别是2zxyFEBADCNMPAB﹑AD的中点，GC⊥面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。解：建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，由题意C（0，0，0），G（0，0，2），E（2，4，0），F（4，2，0），B（0，4，0）∴=（2，4，-2），=（4，2，-2），=（2，0，0）设平面EFG的法向量为=（x，y，z），则⊥，⊥，得，令z=1，得x=，y=，即=（，，1），在方向上的射影的长度为d====例3.(2000年二省一市高考题)在直三棱柱ABC-A1B1C1中CA=CB=1，∠BCA=900，棱AA1=2，M﹑N分别是A1B1﹑A1A的中点。（1）求的长；（2）求cos；（3）求证：A1B⊥C1M解：建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，则C（0，0，0），B（0，1，0），N（1，0，1），A1（1，0，2），B1（0，1，2），C1（0，0，2），M(，，2)（1）=（1，-1，1），故=；（2）=（0，1，2），=（1，-1，2）∴cos===（3）=（-1，1，-2），=(，，0)∴•=-1×+1×+(-2)×0=0∴A1B⊥C1M二﹑利用图形中的对称关系建系。3xyzDCBAGFEzyxA1B1C1ABCMN有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系（如：正三棱锥﹑正四棱锥﹑正六棱锥等），我们可以利用图形的对称性建立空间直角坐标系来解题。例4.(2001年二省一市高考题)如图，以底面边长为2a的正四棱锥V-ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E为VC的中点，高OV为h。（1）求cos；（2）记面BCV为α，面DVC为β，若∠BED是二面角α-VC-β的平面角，求∠BED。解：（1）由题意B（a，a，0），D（-a，-a，0），E（-，，）∴=（-，-，），=（，，）cos===（2） V（0，0，h），C（-a，a，0）∴=（-a，a，-h）又∠BED是二面角α-VC-β的平面角∴⊥，⊥即·=--=a2-=0，a2=代入cos==-即∠BED=π-arccos三﹑利用面面垂直的性质建系。4xyzABCDVOE有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间直角坐标系。例5.(2000年全国高考题)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a。（1）建立适当的坐标系，并写出A﹑B﹑A1﹑C1的坐标；（...