极值点偏移问题沈阳市第十一中学数学组：赵拥权一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义对于可导函数y=f(x)在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点x0,方程f(x)=0(f(x)=m)的解分别为x1,x2且ax0,则称函数f(x)在区间（a,b）上极值点x0左偏移；（2）x1+x22f(2x0−x2)则x1+x22¿x0即函数f(x)在区间上（a,b）极大值点x0左偏;（即峰偏左）（4）若f(x1)>f(2x0−x2)则x1+x22¿x0即函数f(x)在区间上（a,b）极小值点x0右偏;（即谷偏右）x=x1+x22x=x1+x22y=mxy=f(x)x=x0x=x0拓展：1）若f(a+x)=f(b−x)，则f(x)的图象关于直线x=a+b2对称；特别地，若f(a+x)=f(a−x)（或f(x)=f(2a-x)），则f(x)的图象关于直线x=a对称2）若函数f(x)满足∀x∈(0,a)有下列之一成立：①f(x)在(0,a)递增，在(a,2a)递减,且f(a-x)<（>）f(a+x)(f(x)<(>)f(2a-x))②f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a-x))则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中①极大值左偏（或右偏）也称峰偏左（或右）②极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）；性质：1)f(x)的图象关于直线x=a对称若x1,x2∈(0,2a)x1≠x2则x1+x2=2a<=>f(x1)=f(x2),(f'(x1)+f'(x2)=0,f'(x1+x22)=0);2)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若x1,x2∈(0,2a)x1≠x2则f(x1)=f(x2)则x1+x2>2a,及f'(x1+x22)<0极值点偏移解题步骤：①求函数f(x)的极值点x0；②构造函数F(x)=f(x+x0)-f(x0−x¿(F(x)=f(x0−x)-f(x0+x¿,F(x)=f(x+2x0)-f(−x¿,F(x)=f(x)-f(2x0−x¿)确定F(x)单调性③结合F(0)=0（F(-x0)=0,F(x0¿=0¿判断F(x)符号从而确定f(x+x0),f(x0−x¿(f(x+2x0)与f(−x¿;f(x)与f(2x0−x¿）的大小关系;答题模式：已知函数y=f(x)满足f(x1)=f(x2),x0为函数y=f(x)的极值点,求证：x1+x2<2x0①求函数f(x)的极值点x0；②构造函数F(x)=f(x+x0)-f(x0−x¿确定F(x)单调性③判断F(x)符号从而确定f(x+x0),f(x0−x¿的大小关系;假设F(x)在(0,+∞）上单调递增则F(x)>F(0)=0，从而得到x>0时f(x+x0)>f(x0−x¿④1.（2016年全国I高考）已知函数有两个零点.设x1，x2是的两个零点，证明：+x2<2.2.(2010年高考天津卷理科21)（本小题满分14分）已知函数f(x)=xe-x（xR）.(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值；(Ⅱ)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，f(x)>g(x)(Ⅲ)如果且证明证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).Ⅲ)证明：（1）若（2）若根据（1）（2）得由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以>,即>2.3.已知函数xaaxxxf)2(ln)(2．（I）讨论)(xf的单调性；（II）设0a，证明：当ax10时，)1()1(xafxaf；（III）若函数)(xfy的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f（x0）＜0．解：（I）()(0,),fx的定义域为1(21)(1)()2(2).xaxfxaxaxx（i）若0,()0,()(0,)afxfx则所以在单调增加.（ii）若10,()0,afxxa则由得且当11(0,),()0,,()0.xfxxfxaa时当时所以1()(0,)fxa在单调增加，在1(,)a单调减少.（II）设函数11()()(),gxfxfxaa则3222()ln(1)ln(1)2,2()2.111gxaxaxaxaaaxgxaaxaxax当10,()0,(0)0,()0xgxggxa时而所以.故当10xa时，11()().fxfxaa………………8分（III）由（I）...
