漫谈对称、轴对称图形郑君威《数学课程标准（实验稿）》（一下简称课程标准）与原教学大纲比，在空间与图形方面增加了许多内容，其中图形与变换的内容很充实，且有层次。第一学段的学习从感知图形变换现象开始，学习特殊方向的平移和直观式地认识轴对称图形；第二学段增加90º旋转和平移、旋转、对称的画图，并初步体会图形的相似；第三学段比较系统地学习图形的轴对称、平移、旋转和相似。这样安排有螺旋上升的味道。小学阶段只是初步认识图形的变换，离定性地认识还有一定的距离，更不用说定量地研究了。在平移、旋转、对称这些概念中，最重要的是对称这一概念。对称在这里仅限于图形。其实对称在数学中占有一定的地位，与对称有关的概念如对称多项式、对称算子、对称空间、对称张量、对称化、对称原理等等都是数学上的重要概念。课程标准中提到的对称，不仅局限于图形，而且是仅指最简单的图形对称。按《数学百科全书》，所谓对称是“一个改变定向的正交变换”。例如，平面内关于一直线a的一个反射是一个对称。在它之下每一个点M映射到一点M′，使得线段MM′垂直于直线a且被它平分。a称作对称轴。“对称是一个几何图形Φ的如下性质：在某个变换群G的作用下，Φ被映射到自身上，这个群称为对称群。”（引自《数学百科全书》第五卷第106页）简单的情形，如果变换群G是一条直线，那么几何图形Φ就是关于直线G的对称图形；如果变换群G是一个点，那么几何图形Φ就是以点G为中心的对称图形。上述定义中“Φ被映射到自身上”可见，对称图形是一个图形，轴对称图形、中心对称图形当然也是一个图形。以点O为中心的对称图形Φ的涵义是，使得关于某点O旋转一个360º/n（n是一个整数）的角时映射到自身上，那么Φ有一个n阶对称，且O称为对称中心。这里的旋转是在图形所在的平面内旋转。如正三角形是以它的重心为中心的3阶对称，推广之，正n边形是以它们的重心为中心的n阶对称。在图1中，n可以是4（旋转90°）或2（旋转180°），当n=2时就是我们课程标准中所说的中心对称图形。同样地，“课程标准”中的轴对称图形是关于一直线的ｎ阶对称的最简单的情形。所谓关于一直线的ｎ阶对称是“图形关于某直线（对称轴）旋转360º／ｎ角而映到自身上”（引文同上）。当ｎ＝２时，就成了所谓轴对称图形了。这里的旋转不是平面内的旋转，而是空间的旋转。例如立方体（如图２）有直线ＡＢ作为对称轴的３阶对称，且有直线ＣＤ作为对称轴的４阶对称。这里的阶数n，它不是对称轴的个数。如正方形有对称轴4条，但它关于直线的对称只是2阶。立方体图2中，属于3阶对称的对称轴（如AB）有4条，属于4阶对称的对称轴（如CD）有3条。小学里的轴对称图形仅指关于直线的2阶对称，因此轴对称图形是平面图形，且是一个图形。圆是特殊的图形，它是以圆心为对称中心的n阶对称图形；它是以任意一条直径所在的直线为对称轴的2阶对称。球是以任意一条直径所在的直线为对称轴的n阶对称。此外还有平移对称，如图案设计中的二方连续，就属于平移对称；还有由平移和旋转结合起来的对称，如螺旋形的转盘楼就是螺旋对称。这些虽然都不在小学数学学习范围之内，但当学生有可能提到这类现象时，我们不要断然否定它们是对称现象，它们只是不属于轴对称图形和中心对称图形而已。A（图1）（图2）对轴对称图形的教学，必须按照课程标准的要求进行。数学教学的任务就是要引导学生研究学习内容，解决四个问题：是什么，为什么，有什么用，发展下去能产生什么。小学数学教学不可能完全按照这个思路来组织教学，但至少要使学生了解（理解、掌握）是什么，怎么形成的，为什么要这样说，在现实中有什么作用，等等。按照上面的教学思路，首先要使学生明白概念。如果我们要对轴对称图形下一个定义，可以这样下：一个平面图形Φ围绕直线a旋转180º而映射到自身上。这个定义虽然比较严密，显然不适合小学。对于小学生来说，这个定义难于理解的地方有三处，一是图形和直线是什么关系，二是怎样旋转，三是对“映射到自身上”怎么理解。这三个问题，对小学生来说是很不容易理解的，特别是“映射”，太抽象了。因此在小学里，不必教给学生严密的轴对称图...
