第16讲导数在函数中的应用VIP免费

掌握利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和最值的方法．1()0()0()()2()0)(10()abyfxfxyfxabfxababfxabyfxfxfxababfx对于定义在区间，内连续不间断的函数=，由=在，内单调递增在，内恒成立，其中，为的单调递增区间；对于定义在区．函数的单调性间，内连续不间断的函数=，由①在，内恒成立，其中区间，为的单与调其导数的关系递减区间．00000000001_____________________22fxxxxxfxfxyfxxfxfxyfxxxfx极大值极小值极值与极值点：设函数在点及其附近有定义，如果对附近的异于的所有点，都有②，则称为的极大值，记作=，为极大值点．反之，若③，则称为的极小值，记作=，为极小值点，极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为．函数极值点．若为可导函数的极值与其导数的关的极值点系，则有④_____；反之，不一定成立．00max00min01___________2[]__________[]3yfxIxxIfxyfxfxyfxyfxabab．函数的最值：如果在函数=的定义域内存在，使得对任意的，都有⑤，则称为函数的最大值，记作=；反之，若有⑥，则称为函数的最小值，记作=．最大值和最小值统称为最值；如果函数的最函数=在闭区间，上的图象是⑦的曲线，则该函数在闭区间值与其的关系，导数上一定能够取得最大值与最小值．4()()()()()()()ab极值是反映函数的局部性质，最值是反映函数的整体性质．极大小值不一定是最大小值，最大小值也不一定是极大小值，极大值不一定比极小值大．但如果函数的图象是一条不间断的曲线，在区间，内只有一个极值．极值与最值的区，那么极大小值就别与是最大系小联值．00000()0yfxabfxfxfxfxfxfxfxfxfx【要点指①=在，内单调递减；②；③；④=；⑤；⑥；⑦一条南】连续不间断1.函数f(x)＝(4－x)ex的单调递减区间是()A．(－∞，4)B．(－∞，3)C．(4，＋∞)D．(3，＋∞)【解析】f′(x)＝－ex＋(4－x)·ex＝ex(3－x)，令f′(x)<0，由于ex>0，所以3－x<0，解得x>3.2.当函数y＝x·2x取极小值时，x＝()A．1ln2B．－1ln2C．－ln2D．ln2【解析】由y＝x·2x，得y′＝2x＋x·2x·ln2.令y′＝0，得2x(1＋x·ln2)＝0.因为2x＞0，所以x＝－1ln2.3.(2014·山东青岛模拟)函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()A．－2B．0C．2D．4【解析】因为f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.所以f(x)在[－1,0)上是增函数，f(x)在(0,1]上是减函数．所以f(x)max＝f(x)极大值＝f(0)＝2.4.函数f(x)＝13x3－x2－3x－1的图象与x轴的交点个数是3.【解析】f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，函数f(x)在(－∞，－1)和(3，＋∞)上是增函数，在(－1,3)上是减函数，由f(x)极小值＝f(3)＝－10<0，f(x)极大值＝f(－1)＝23>0知函数f(x)的图象与x轴的交点个数为3.5.(2014·四川内江模拟)已知函数f(x)＝13x3－12x2＋cx＋d有极值，则实数c的取值范围为(－∞，14).【解析】由题意知，f′(x)＝x2－x＋c.因为函数f(x)有极值，所以Δ＝1－4c>0，解得c<14.一函数的单调性与导数【例1】已知函数f(x)＝1－xax＋lnx.(1)若函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，求正实数a的取值范围；(2)讨论函数f(x)的单调性．【解析】(1)因为f(x)＝1－xax＋lnx，所以f′(x)＝ax－1ax2(a>0)．因为函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)＝ax－1ax2≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，则ax－1≥0对x∈[1，＋∞)恒成立，即a≥1x对x∈[1，＋∞)恒成立，所以a≥1.(2)因为a≠0，f′(x)＝ax－1aax2＝x－1ax2，x>0，当a<0时，f′(x)>0对x∈(0，＋∞)恒成立，所以f(x)的增区间为(0，＋∞)．当a>0时，f′(x)>0⇒x>1a，f′(x)<0⇒x<1a，所以f(x)的增区间为(1a，＋∞)，减区间为(0，1a)．【点评】求函数的单调区间，实际上是解不等式f′(x)≥0(≤0)的问题，由单调性求参数的取值范围，实际上是不等式恒成立问题，应熟练掌握其解法，此题第(2)问利用方法2即函数思想求解较易．即f′(x)≥0(或≤0)是函数y＝f(x)单调递增(或递减)的必要不充分条件．二函数...