第三章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1在平行六面体ABCD-EFGH中,若⃗AG=2x⃗AB+3y⃗BC+3z⃗HD,则x+y+z等于()A.76B.23C.56D.12解析:因为⃗AG=⃗AB+⃗BC+⃗DH,所以2x=1,3y=1,3z=-1,则x¿12,y=13,z=−13,故x+y+z¿12.答案:D2已知点A(1,2,-1)关于平面xOy的对称点为B,而点B关于x轴的对称点为C,则⃗BC等于()A.(0,4,2)B.(0,-4,-2)C.(0,4,0)D.(2,0,-2)解析: B(1,2,1),C(1,-2,-1),∴⃗BC=(0,−4,−2).答案:B3以下四组向量中,互相平行的组数为()①a=(2,2,1),b=(3,-2,-2)②a=(8,4,-6),b=(4,2,-3)③a=(0,-1,1),b=(0,3,-3)④a=(-3,2,0),b=(4,-3,3)A.1B.2C.3D.4解析:②中, a=2b,∴a∥b;1③中, a=−13b,∴a∥b;而①④中的向量不平行.答案:B4已知直线l过点P(1,0,-1),平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量不可能是()A.(1,-4,2)B.(14,-1,12)C.(-14,1,-12)D.(0,−1,1)解析:设平面α的法向量为n,依题意必有n⊥a,n⊥⃗PM,而⃗PM=(0,2,4),所以只有D项不符.答案:D5把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60°的二面角,则点A到BC的距离是()A.aB.√62aC.√33aD.√154a解析:取BC中点E,则AE⊥BC,即AE为A到BC的距离,AE¿√AC2-CE2=√154a.答案:D6已知点A(-1,0,1),B(0,0,1),C(2,2,2),D(0,0,3),则sin¿⃗AB,⃗CD>等于()A.−23B.23C.√53D.−√53解析:⃗AB=(1,0,0),⃗CD=(−2,−2,1),2所以cos¿⃗AB,⃗CD≥⃗AB·⃗CD|⃗AB||⃗CD|=-21×3=−23<0.所以<⃗AB,⃗CD>∈(π2,π).故sin¿⃗AB,⃗CD≥√1-cos2<⃗AB,⃗CD>¿=√1-(-23)2=√53.¿答案:C7在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A.√23B.√33C.23D.√63解析:不妨设正方体的棱长为1,如图建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1).平面ACD1的法向量为⃗DB1=(1,1,1).又⃗BB1=(0,0,1),则cos¿⃗DB1,⃗BB1≥⃗DB1·⃗BB1|⃗DB1||⃗BB1|=1√3×1=√33.故BB1与平面ACD1所成角的余弦值为√1-(√33)2=√63.答案:D8在如图所示的几何体ABCDE中,DA⊥平面EAB,CB∥DA,EA=AB=DA=2CB,EA⊥AB,M是EC的中点,则下述结论成立的是()A.DM⊥EB3B.DM⊥ECC.DM⊥BMD.DM⊥BA解析:以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,设EA=DA=AB=2CB=2,则A(0,0,0),E(2,0,0),B(0,2,0),C(0,2,1),D(0,0,2),M(1,1,12),⃗DM=(1,1,-32),⃗EB=(−2,2,0),⃗EC=(−2,2,1),⃗BM=(1,-1,12),⃗AB=(0,2,0),仅有⃗DM·⃗EB=0,从而得DM⊥EB,故选A.答案:A9如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1的夹角是()A.45°B.60°C.90°D.120°解析:不妨设AB=BC=AA1=1,则⃗EF=⃗BF−⃗BE=12(⃗BB1−⃗BA),⃗BC1=⃗BC+⃗BB1,∴¿⃗EF∨¿12∨⃗BB1−⃗BA∨¿√22,¿⃗BC1∨¿√2,⃗EF·⃗BC1=12(⃗BB1−⃗BA)·(⃗BC+⃗BB1)=12,4∴cos¿⃗EF,⃗BC1≥⃗EF·⃗BC1|⃗EF|·|⃗BC1|=12√22×√2=12,∴¿⃗EF,⃗BC1≥60°,即异面直线EF与BC1的夹角是60°.答案:B10已知四边形ABCD是边长为4的正方形,E,F分别是边AB,AD的中点,GC垂直于正方形ABCD所在的平面α,且GC=2,则点B到平面EFG的距离为()A.3B.√5C.√1111D.2√1111解析:如图,建立空间直角坐标系,则B(0,4,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2),⃗¿=(2,4,−2),⃗GF=(4,2,−2).设n=(x,y,z)是平面EFG的一个法向量,则{n·⃗¿=0,n·⃗GF=0,即{2x+4y-2z=0,4x+2y-2z=0.令x=1,则y=1,z=3.则n=(1,1,3),而⃗EB=(−2,0,0).设点B到平面EFG的距离为d,则d¿|n·⃗EB||n|=2√1111.答案:D5二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11正四棱锥S-ABCD的底面边长为√2,侧棱的长是底面边长的√2倍,E为侧棱SC上一点,⃗BE·⃗SD=0,若⃗SE=λ⃗EC,则λ=¿.解析:以底面ABCD的中心为原点,以OA,OB,OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则有B(0,1,0),D(0,-1,0),S(0,0,√3¿,C(−1,0,0).由⃗SE=λ⃗EC可得E(-λ1+λ,0,√31+λ),由⃗BE·⃗SD=0可得λ=2.答案:212如图,在空间四边形ABCD中,AC和BD为对角线,G为△ABC的重心,E是BD上一点,BE=3ED,以{⃗AB,⃗A...
