第48课直线与椭圆的位置关系[最新考纲]内容要求ABC直线与椭圆的位置关系√1．直线与椭圆的位置关系将直线方程与椭圆方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．考虑一元二次方程的判别式Δ，有(1)Δ＞0⇔直线与椭圆相交；(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；(3)Δ＜0⇔直线与椭圆相离．2．弦长公式设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝＝·|x1－x2|＝·＝|y1－y2|.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是直线l与椭圆C只有一个公共点．()(2)过＋＝1(a>b>0)焦点的直线x＝c交曲线于A，B两点，则AB＝.()(3)直线y＝kx(k≠0)与椭圆＋＝1(a>b>0)交于不同的A，B两点，F是椭圆的右焦点，则S△ABF的最大值为bc.()(4)直线y＝k(x－1)＋1与椭圆＋＝1的位置关系随k的变化而变化．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)若斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则AB的最大值为________．[设直线l的方程为y＝x＋t，代入＋y2＝1得x2＋2tx＋t2－1＝0，由题意得Δ＝(2t)2－5(t2－1)>0，即t2<5.∴AB＝4×≤.]3．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为________．6[由椭圆定义知，两式相加得AB＋AF1＋BF1＝16，即△AF1B周长为16，又因为在△AF1B中，有两边之和是10，所以第三边长度为16－10＝6.]4．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且AB＝3，则C的方程为__________．＋＝1[依题意，设椭圆C：＋＝1(a>b>0)．过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长AB＝3，∴点A必在椭圆上，1∴＋＝1.①又由c＝1，得1＋b2＝a2.②由①②联立，得b2＝3，a2＝4.故所求椭圆C的方程为＋＝1.]5．若椭圆＋＝1中过点P(1,1)的弦恰好被P平分，则此弦所在直线的方程是________．x＋2y－3＝0[设弦的两个端点分别为(x1，y1)，(x2，y2)则①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0.又x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.∴＝－.即所求直线的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.]定点问题椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为.(1)求椭圆C的标准方程．(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左、右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．[解](1)因为左焦点(－c,0)到点P(2,1)的距离为，所以＝，解得c＝1.又e＝＝，解得a＝2，所以b2＝a2－c2＝3.所以所求椭圆C的方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0，化为3＋4k2>m2.所以x1＋x2＝，x1x2＝.y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点D(2,0)，kAD·kBD＝－1，所以·＝－1，所以y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，所以＋＋＋4＝0.化为7m2＋16mk＋4k2＝0，解得m1＝－2k，m2＝－.且满足3＋4k2－m2>0.当m＝－2k时，l：y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)与已知矛盾；当m＝－时，l:y＝k，直线过定点.综上可知，直线l过定点.[规律方法]定点问题的求解策略(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；2(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意．[变式训练1]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，右顶点为A，且AF＝1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x＝4交于点Q，问：是否存在一个定点M(t,0)，使得MP·MQ＝0.若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.【导学号：62172265】图481[解](1)由c＝1，a－c＝1，得a＝2，∴b＝，故椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)由消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，∴Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，即m2＝3＋4k2.设P(xp，yp)，则xp＝－＝－，yp＝kxp＋m＝－＋m＝，即P. M(t,0)，Q(4,4k＋m)，∴MP＝，MQ＝(4－t,...
