第2课时椭圆方程及性质的应用A级基础巩固一、选择题1．平面内一动点M到两定点F1，F2的距离之和为常数2a，则点M的轨迹为()A．椭圆B．圆C．无轨迹D．椭圆或线段或无轨迹答案：D2．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A.B.C．2－D.－1解析：由题意，得|PF1|＝|PF2|＝|F1F2|＝2c，又由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，即2c＋2c＝2a，则a＝(＋1)c，得e＝＝－1.答案：D3．椭圆＋＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是()A．8，2B．5，4C．5，1D．9，1解析：因为a＝5，c＝4，所以最大距离为a＋c＝9，最小距离为a－c＝1.答案：D4．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为()A.B.C.D.解析：由消去y整理得7x2＋12x＋8＝0，由弦长公式得|AB|＝×＝.答案：B5．直线y＝x＋1被椭圆x2＋2y2＝4所截得的弦的中点坐标是()A.B.C.D.答案：B二、填空题6．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由联立得：3x2－4x＝0，可知：A(0，－1)，B，又F1(－1，0)，所以|F1A|＋|F1B|＝＋＝.答案：7．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．解析：右焦点为(1，0)，故直线为y＝2(x－1)．由消去y，得3x2－5x＝0，所以x＝0或x＝，从而A(0，－2)，B.1所以|AB|＝＝＝.又O到AB的距离d＝＝，所以S△AOB＝·|AB|·d＝××＝.答案：8．已知点M(2，1)，C是椭圆＋＝1的右焦点，A是椭圆上的动点，则|AM|＋|AC|的最小值是________．解析：如图，设椭圆的左焦点为B(－3，0)，连接MB，AB，点M(2，1)在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|.而a＝4，|BM|＝＝，所以(|AM|＋|AC|)min＝8－.答案：8－三、解答题9．有一椭圆形溜冰场，长轴长是100m，短轴长是60m，现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形，且使这个矩形的面积最大，试确定这个矩形的顶点的位置．这时矩形的周长是多少？解：分别以椭圆的长轴、短轴所在的直线为x轴和y轴，以长轴的中心为坐标原点O，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上．易知矩形ABCD关于原点O及x轴、y轴对称．已知椭圆的长轴长2a＝100m，短轴长2b＝60m，则椭圆的方程为＋＝1.设点A的坐标为(x0，y0)，x0>0，y0>0，则＋＝1，即y＝(502－x)．根据矩形ABCD的对称性，可知它的面积S＝4x0y0.因为xy＝x·(502－x)＝[－(x－)2＋]，所以当x＝时，xy取得最大值，此时S也取得最大值．这时x0＝25，y0＝15.矩形ABCD的周长为4(x0＋y0)＝4(25＋15)＝160(m)．因此，在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距25m的直线，这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形的顶点，这个矩形的周长为160m.10．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，AF＝2FB.(1)求椭圆C的离心率；(2)如果|AB|＝，求椭圆C的方程．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．2由题意知，y1<0，y2>0.(1)直线l的方程为y＝(x－c)，其中c＝，联立得(3a2＋b2)y2＋2b2cy－3b4＝0，解得y1＝，y2＝，因为AF＝2FB，所以－y1＝2y2，即＝2·，得离心率e＝＝.(2)因为|AB|＝|y2－y1|，所以·＝.由＝，得b2＝a2，b＝a，代入上式得a＝，所以a＝3，b＝，故椭圆C的方程为＋＝1.B级能力提升1．若直线ax＋by＋4＝0和圆x2＋y2＝4没有公共点，则过点(a，b)的直线与椭圆＋＝1的公共点个数为()A．0B．1C．2D．由a，b的取值来确定解析：因为直线ax＋by＋4＝0和圆x2＋y2＝4没有公共点，所以原点到直线ax＋by＋4＝0的距离d＝>2，所以a2＋b2<4，所以点P(a，b)是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点，因为椭圆的长半轴为3，短半轴为2，所以圆x2＋y2＝4内切于椭圆，所以点P是椭圆内的点，所以过点P(a，b)的一条直线与椭圆的公共点数为2.答案：C2．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交C于点B，若FA＝3FB，则|AF|＝________．解析：设点A(2，n)，B(x0...
