高考解答题专项练——立体几何1.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AA1=2,∠ABC=120°,点P在线段AC1上,且AP=2PC1,M为线段AC的中点.(1)证明:BM∥平面B1CP;(2)求直线AB1与平面B1CP所成角的余弦值.(1)证明连接BC1交B1C于点F,连接MC1交CP于点N,连接FN, 四边形BCC1B1是矩形,∴F为BC1的中点.取AP的中点Q,连接MQ,∴MQ是△APC的中位线.∴MQ∥PC.又AP=2PC1,∴C1PC1Q=12.∴C1NC1M=C1PC1Q=12,即N为C1M的中点.∴FN为△C1BM的中位线,∴FN∥BM.又FN⊂平面B1CP,BM⊄平面B1CP,∴BM∥平面B1CP.(2)解连接MF,过点M作MG⊥CP于点G,连接FG, BM⊥AC,BM⊥CC1,∴BM⊥平面ACC1. BM∥FN,∴FN⊥平面ACC1.∴FN⊥MG.又MG⊥PC,FN∩PC=N,∴MG⊥平面B1PC.又AB1∥MF,∴∠MFG为直线AB1与平面B1CP所成的角. AB=BC=AA1=2,∠ABC=120°,∴AB1=2√2,CM=12AC=√3.1∴MF=√2,MG=2√217.∴FG=√147.∴cos∠MFG=FGMF=√77.∴直线AB1与平面B1CP所成角的余弦值为√77.2.在三棱锥A-BCD中,E是BC的中点,AB=AD,BD⊥DC.(1)求证:AE⊥BD.(2)若DB=2DC=√2AB=2,且二面角A-BD-C为60°,求AD与面BCD所成角的正弦值.(1)证明如图,取BD的中点F,连EF,AF, E为BC中点,F为BD中点,∴FE∥DC.又BD⊥DC,∴BD⊥FE. AB=AD,∴BD⊥AF.又AF∩FE=F,AF,FE⊂平面AFE,∴BD⊥平面AFE. AE⊂平面AFE,∴AE⊥BD.(2)解由(1)知BD⊥AF,∴∠AFE即为二面角A-BD-C的平面角,∴∠AFE=60°. AB=AD=√2,DB=2,∴△ABD为等腰直角三角形.∴AF=12BD=1,又FE=12DC=12,∴AE2=AF2+FE2-2AF·FE·cos∠AFE=1+14-2×1×12×cos60°=34,即AE=√32,∴AE2+FE2=1=AF2.∴AE⊥FE.又由(1)知BD⊥AE,且BD∩FE=F,BD⊂平面BDC,FE⊂平面BDC,∴AE⊥平面BDC,2∴∠ADE就是AD与平面BCD所成的角,在Rt△AED中,AE=√32,AD=√2,∴AD与平面BCD所成角的正弦值sin∠ADE=AEAD=√64.3.如图,已知ABCD是矩形,M,N分别为边AD,BC的中点,MN与AC交于点O,沿MN将矩形MNCD折起,设AB=2,BC=4,二面角B-MN-C的大小为θ.(1)当θ=90°时,求cos∠AOC的值;(2)当θ=60°时,点P是线段MD上一点,直线AP与平面AOC所成角为α.若sinα=√147求线段MP的长.解设E为AB的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.(1)如图,当θ=90°时,A(2,-1,0),C(0,1,2),∴⃗OA=(2,-1,0),⃗OC=(0,1,2),∴cos∠AOC=⃗OA·⃗OC|⃗OA||⃗OC|=-15.(2)如图,当θ=60°时,C(1,1,√3),D(1,-1,√3),M(0,-1,0),∴⃗MD=(1,0,√3),设⃗MP=λ⃗MD(0≤λ≤1),则⃗OP=⃗OM+⃗MP=(λ,-1,√3λ),∴⃗AP=⃗OP−⃗OA=(λ-2,0,√3λ).设平面AOC的法向量为n=(x,y,z), n·⃗OA=0,n·⃗OC=0,∴{2x-y=0,x+y+√3z=0,取n=(1,2,-√3),3由题意,得|⃗AP·n|⃗AP||n||=√147,即3λ2-10λ+3=0,∴λ=13或λ=3(舍去).∴在线段MD上存在点P,且MP=13MD=23.4.已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示,E是最短侧棱PC上的动点.(1)是否不论点E在何位置,都有BD⊥AE?证明你的结论;(2)若点E为PC的中点,求二面角D-AE-B的大小.解(1)不论点E在何位置,都有BD⊥AE.证明如下:由三视图可知,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PC⊥底面ABCD,且PC=2.连接AC, 四边形有ABCD是正方形,∴BD⊥AC. PC⊥底面ABCD,且BD⊂平面ABCD,∴BD⊥PC.又AC∩PC=C,∴BD⊥平面PAC. 不论点E在何位置,都有AE⊂平面PAC,∴不论点E在何位置,都有BD⊥AE.4(2)如图,以点C为原点,CD,CB,CP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(1,0,0),A(1,1,0),B(0,1,0),E(0,0,1),从而⃗DA=(0,1,0),⃗DE=(-1,0,1),⃗BA=(1,0,0),⃗BE=(0,-1,1).设平面ADE和平面ABE的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),由{n1·⃗DA=0,n1·⃗DE=0⇒{y1=0,-x1+z1=0,取n1=(1,0,1).由{n2·⃗BA=0,n2·⃗BE=0⇒{x2=0,-y2+z2=0,取n2=(0,-1,-1).设二面角D-AE-B的平面角为θ,则cosθ=n1·n2|n1||n2|=-1√2×√2=-12,∴θ=2π3,即二面角D-AE-B的大小为2π3.5.(2018湖南模拟)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.(1)求证:BC⊥平面ACFE;(2)点M在线段EF上运动,设平面MAB与平面FCB二面角的平面角为θ(θ≤90°),试求cosθ的取值范围.(1)证明在梯形ABCD中, AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,∴AB=2.∴AC2=AB2+BC...
