高中数学 第三章 推理与证明 1 归纳与类比 1.1 归纳推理课后巩固提升 北师大版选修1-2-北师大版高二选修1-2数学试题VIP专享VIP免费

1.1归纳推理[A组基础巩固]1．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)解析：由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．答案：D2．已知数列{an}满足a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，则当n≥1时，an等于()A．2nB.n(n＋1)C．2n－1D．2n－1解析：a0＝1，a1＝a0＝1，a2＝a0＋a1＝2a1＝2，a3＝a0＋a1＋a2＝2a2＝4，a4＝a0＋a1＋a2＋a3＝2a3＝8，….猜想当n≥1时，an＝2n－1.答案：C3．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数的点数可以排成一个正三角形(如下图)．试求第七个三角形数是()A．27B．28C．29D．30解析：第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，故选B.答案：B4．数列5,9,17,33，x，…中的x等于()A．47B．65C．63D．128解析：5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x＝26＋1＝65.答案：B5．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：1他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A．289B．1024C．1225D．1378解析：由图形可得三角形数构成的数列通项an＝(n＋1)，同理可得正方形数构成的数列通项bn＝n2，若a既是三角形数又是正方形数，则a＋1为偶数，a为奇数，故排除B、D；由(n＋1)＝289＝17×17，知n∉N，所以排除A，而1225＝352＝＝＝1225，满足题意，故选C.答案：C6．f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推测当n≥2时，有________．解析：f(4)＝f(22)>，f(8)＝f(23)>，f(16)＝f(24)>，f(32)＝f(25)>.答案：f(2n)>7．观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第五个等式应为________．解析：由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81.答案：5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝818．观察下列不等式：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，……照此规律，第五个不等式为________．解析：归纳观察法．观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．∴第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.2答案：1＋＋＋＋＋<9．意大利数学家斐波那契在他的1228年版的《算经》一书中记述了有趣的兔子问题：假定每对大兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔子过了一个月就可以长成大兔子，如果不发生死亡，那么由一对大兔子开始，一年后能有多少对大兔子呢？我们依次给出各个月的大兔子对数，并一直推算下去到无尽的月数，可得数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…这就是斐波那契数列，此数列中，a1＝a2＝1，当n≥3时，归纳出an与an－1间的递推关系式．解析：因为2＝1＋1,3＝1＋2；5＝2＋3,8＝3＋5，…，逐项观察分析每项与其前几项的关系易得：从第三项起，它的每一项等于它的前面两项之和，即an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N＋)．10．已知sin230°＋sin290°＋sin2150°＝；sin25°＋sin265°＋sin2125°＝，通过观察上述两等式的规律，请你写出对任意角度α都成立的一般性的命题，并给予证明．解析：一般形式：sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝.证明：左边＝＋＋＝－[cos2α＋cos2αcos120°－sin2αsin120°＋cos2α·cos240°－sin2αsin240°]＝－[cos2α－cos2α－sin2α－cos2α＋sin2α]＝＝右边(将一般形式写成sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝，sin2(α－240°)＋sin2(α－120°)＋sin2α＝等均正确．)[B组能力提升]1．从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性()解析：每行的各个方格中的白圈个数分别为9,8,7，排除B项、D项．黑圈按照依次向右，右边无圆圈则向下的顺序每次移动两格(下幅图中被消去的白圈不...