§3平均值不等式课后篇巩固探究A组1.下列结论正确的是()A.若3a+3b≥2,则a>0,b>0B.若≥2成立,则a>0,b>0C.若a>0,b>0,且a+b=4,则≤1D.若ab>0,则解析:当a,b∈R时,一定有3a>0,3b>0,必有3a+3b≥2,故A错;要使≥2成立,只要>0,>0即可,这时只要a,b同号,故B错;当a>0,b>0,且a+b=4时,则.因为ab≤=4,所以≥1,故C错;当a>0,b>0时,a+b≥2,所以,而当a<0,b<0时,显然有,所以当ab>0时,一定有,故D正确.答案:D2.函数f(x)=3x+3-x的最小值是()A.2B.11C.3D.2解析:因为3x>0,3-x>0,所以f(x)=3x+3-x=3x+≥2=2,当且仅当3x=3-x,即x=0时,函数取得最小值2.答案:A3.若a<1,则a+的最大值是()A.3B.aC.-1D.解析:因为a<1,所以a-1<0.因此a+=a-1++1≤-2+1=-1,当且仅当1-a=,即a=0时,等号成立,故选C.答案:C4.设x,y,z∈R+,且x+y+z=6,则lgx+lgy+lgz的取值范围是()A.(-∞,lg6]B.(-∞,3lg2]C.[lg6,+∞)D.[3lg2,+∞)解析:因为x,y,z∈R+,所以6=x+y+z≥3,即xyz≤8,当且仅当x=y=z=2时等号成立,所以lgx+lgy+lgz=lgxyz≤lg8=3lg2.答案:B5.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是()2A.3B.4C.D.解析:因为x>0,y>0,所以2xy=x·2y≤,当且仅当x=2y=2时等号成立.又2xy=8-(x+2y),所以8-(x+2y)≤.令x+2y=t,则t2+4t-32≥0,解得t≥4或t≤-8(舍去),所以x+2y≥4,即x+2y的最小值是4,故选B.答案:B6.若正数x,y满足x+4y=4,则xy的最大值为.解析:由平均值不等式可得x+4y≥2=4,当且仅当x=4y=2时等号成立,所以4≤4,所以01,y>1,且xy=1000,求lgx·lgy的最大值.解因为x>1,y>1,所以lgx>0,lgy>0.所以lgx·lgy≤,3当且仅当lgx=lgy,即x=y=10时等号成立,故lgx·lgy的最大值等于.9.已知x>0,y>0,x+y=1,求证:≥9.证明==5+2≥5+4=9,当且仅当,即x=y=时等号成立,所以≥9.10.某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过5m.房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为5800元,如果墙高为3m,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低?解由题意可得,总造价y=3+5800=900+5800(00的解集为,且a>b,则的最小值为.解析:由已知可得方程ax2+2x+b=0有两个相等的实数根,于是Δ=4-4ab=0,则ab=1.所以=(a-b)+5≥2=2,当且仅当时,等号成立,故的最小值为2.答案:25.设三角形的三边长为3,4,5,P是三角形内的一点,则点P到这个三角形三边距离乘积的最大值是.解析:设点P到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x,y,z,三角形的面积为S,则S=(3x+4y+5z).又因为32+42=52,所以这个三角形为直角三角形,其面积S=×3×4=6,所以3x+4y+5z=2×6=12,所以12=3x+4y+5z≥3=3,所以xyz≤.当且仅当3x=4y=5z,即x=,y=1,z=时等号成立.答案:6.已知a>2,求证:loga-1a>loga(a+1).证明loga-1a-loga(a+1)=. lg(a-1)lg(a+1)<=lg2a,∴lg2a-lg(a-1)lg(a+1)>0.6又a>2,∴lg(a-1)lga>0.∴>0,即loga-1a-loga(a+1)>0,∴loga-1a>loga(a+1).7.导学号35664013东海水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元.从今年起,工...
