高中数学 第一章 导数及其应用单元检测 新人教版选修2-2-新人教版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

导数及其应用全章微型检测1．(2013·高考辽宁卷)设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，则x＞0时，f(x)()A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值2．(2012·高考湖南卷)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f(x)＜1；当x∈(0，π)且x≠时，(x－)f′(x)＞0.则函数y＝f(x)－sinx在[－2π，2π]上的零点个数为()A．2B．4C．5D．83．(2013·石家庄高三检测)已知等比数列{an}，且a4＋a8＝dx，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为________．4．已知函数f(x)＝ex－ae－x，若f′(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．5．(2012·高考北京卷)已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a＝3，b＝－9时，若函数f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围．6．设函数f(x)＝xex.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)是否存在实数a，使得对任意的x1、x2∈(a，＋∞)，当x1＜x2时恒有＞成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案1、解析：选D.由题意知f′(x)＝－＝.令g(x)＝ex－2x2f(x)，则g′(x)＝ex－2x2f′(x)－4xf(x)＝ex－2(x2f′(x)＋2xf(x))＝ex－＝ex.由g′(x)＝0得x＝2，当x＝2时，g(x)min＝e2－2×22×＝0，即g(x)≥0，则当x＞0时，f′(x)＝≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，既无极大值也无极小值．2、解析：选B.∵f′(x)＞0，当＜x＜π时，f′(x)＞0，∴f(x)在上是增函数．当0＜x＜时，f′(x)＜0，∴f(x)在上是减函数．设π≤x≤2π，则0≤2π－x≤π.由f(x)是以2π为最小正周期的偶函数知f(2π－x)＝f(x)．故π≤x≤2π时，0＜f(x)＜1.依题意作出草图可知，y1＝f(x)与y2＝sinx在[－2π，2π]上有四个交点．3、解析：由定积分的几何意义知dx＝π，∴a4＋a8＝π，∴a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a＋a6a10＝a＋2a4a8＋a＝(a4＋a8)2＝π2.答案：π24、解析：由题意可知，f′(x)＝ex＋ae－x≥2恒成立，分离参数可得，a≥(2－ex)ex恒成立，令ex＝t(t＞0)，问题等价于a≥(－t2＋2t)max＝3.所以a∈[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)5、解：(1)∵f(x)＝ax2＋1，∴f′(x)＝2ax，∴f′(1)＝2a.又f(1)＝c＝a＋1，∴f(x)在点(1，c)处的切线方程为y－c＝2a(x－1)，即y－2ax＋a－1＝0.∵g(x)＝x3＋bx，∴g′(x)＝3x2＋b，∴g′(1)＝3＋b.又g(1)＝1＋b＝c，∴g(x)在点(1，c)处的切线方程为y－(1＋b)＝(3＋b)(x－1)，即y－(3＋b)x＋2＝0.依题意知3＋b＝2a，且a－1＝2，即a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当a＝3，b＝－9时，h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的变化情况如下：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1,2)2h′(x)＋0－0＋h(x)↗28↘－4↗31由此可知：当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(－3)＝28；当－3