高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不等式 2 基本不等式练习 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP专享VIP免费

2基本不等式,[学生用书P8])[A基础达标]1．若b>a>0，则下列不等式中一定成立的是()A．a>>>bB．b>>>aC．b>>>aD．b>a>>解析：选C.A与b>a>0矛盾，故不成立．B与>相悖，亦不成立．对于D，令b＝4，a＝2，显然不对，故选C.2．已知x＞0，则2x＋的最小值和取得最小值时的x值分别是()A．8，2B．8，4C．16，2D．16，4解析：选A.2x＋≥2＝8，当且仅当2x＝，即x＝2时，取“＝”号，故选A.3．下列说法中，正确的个数是()①函数y＝x＋的最小值是2；②函数y＝cosx＋的最小值为6；③若正数a，b满足2a＋b＝2，则ab的最大值为.A．0B．1C．2D．3解析：选B.当x＞0时，y＝x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，当x＜0时，－y＝(－x)＋≥2，当且仅当－x＝，即x＝－1时，等号成立，所以y≤－2，所以①错误；由x∈，得cosx∈(0，1)，所以y＝cosx＋＞10，所以②错误；由2＝2a＋b≥2，得ab≤，当且仅当a＝，b＝1时，等号成立，所以③正确．4．函数y＝(x≠0)的最大值及此时x的值为()A．，B．，±C．，－D．，±3解析：选B.y＝＝(x≠0)，因为x2＋≥2＝6，所以y≤，当且仅当x2＝，即x＝±时，ymax＝.5．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．如果在距离车站10km处建仓库，这两项费用y1，y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A．5km处B．4km处C．3km处D．2km处解析：选A.设仓库建在离车站xkm处，由已知得，y1＝，y2＝0.8x，费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2＝8，当且仅当0.8x＝，即x＝5时等号成立，故选A.6．若a∈(0，1)，则a＋的最小值是________．解析：因为a∈(0，1)，所以a＋≥2＝.1当且仅当a＝，即a＝时，a＋有最小值，最小值为.答案：7．已知x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值是________．解析：3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1≥2＋1＝7，当且仅当x＝3y，即x＝1，y＝时，等号成立．答案：78．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．解析：设该长方体容器的长为xm，则宽为m．又设该容器的造价为y元，则y＝20×4＋2×10，即y＝80＋20(x＞0)．因为x＋≥2＝4(当且仅当x＝，即x＝2时取“＝”)，所以ymin＝80＋20×4＝160(元)．答案：1609．已知x，y都是正实数．求证：(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.证明：因为x，y都是正实数，所以x＋y≥2＞0，x2＋y2≥2xy＞0，x3＋y3≥2＞0.三式相乘，得(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.10．已知实数x，y满足4x2＋y2＋3xy＝1，求2x＋y的最大值．解：因为实数x，y满足4x2＋y2＋3xy＝1，所以4x2＋y2＋4xy＝1＋xy，所以(2x＋y)2＝1＋×2x·y≤1＋，解关于2x＋y的不等式，可得－≤2x＋y≤，所以2x＋y的最大值为.[B能力提升]1．已知正实数x，y满足xy＝1，则的最小值为________．解析：依题意知，＝1＋＋＋xy≥2＋2＝4，当且仅当x＝y＝1时取等号，所以的最小值为4.答案：42．已知x＞0，y＞0，＋＝2，则2x＋y的最小值为________．解析：法一：由＋＝2可得＝2－＝，即x＝，所以2x＋y＝＋y＝1＋y＋≥1＋2＝3.法二：因为＋＝2，所以＝1，所以2x＋y＋1－1＝(2x＋y＋1)－1＝(2＋＋＋2)－1≥×(4＋2)－1＝3.答案：33．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：(1)＋＋≥8；(2)≥9.证明：(1)因为a＋b＝1，a＞0，b＞0，所以＋＋＝＋＋＝2＝2＝2＋4≥4＋4＝8(当且仅当a＝b＝时，等号成立)，所以＋＋≥8.2(2)因为＝＋＋＋1，由(1)知＋＋≥8.所以≥9.4．如图，已知小矩形花坛ABCD中，AB＝3m，AD＝2m，现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN，使点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.(1)要使矩形AMPN的面积大于32m2，AN的长应在什么范围内？(2)M，N是否存在这样的位置，使矩形AMPN的面积最小？若存在，求出这个最小面积及相应的AM，AN的长度；若不存在，说明理由．解：(1)设AM＝x，AN＝y(x＞3，y＞2)，矩形AMPN的面积为S，则S＝xy.因为△NDC∽△NAM，所以＝，所以x＝，所以S＝(y＞2)．由＞32，得2＜y＜，或y＞8，所以AN的长度应在或(8，＋∞)内．(2)当y＞2时，S＝＝3≥3×＝3×(4＋4)＝24，当且仅当y－2＝，即y＝4时，等号成立，解得x＝6.所以存在M，N点，当AM＝6，AN＝4时，矩形AMPN的面积最小为24.3