第三节双曲线课时作业练1.若双曲线的方程为x2-2y2=1,则它的左焦点的坐标为.答案(-√62,0)解析 双曲线的方程可化为x2-y212=1,∴a2=1,b2=12,∴c2=a2+b2=32,∴c=√62.∴所求坐标为(-√62,0).2.(2018江苏海安高级中学高三月考)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为3x-4y=0,则该双曲线的离心率为.答案54解析由题意得ba=34,则离心率e=ca=√1+(ba)2=54.3.设P是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上的一点,它的一条渐近线的方程为y=32x,两焦点间的距离为2√13,F1、F2分别是该双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|=.答案71解析由题意知ba=32,2c=2√a2+b2=2√13,所以a=2,b=3,由双曲线的定义得||PF2|-|PF1||=2a=4,又|PF1|=3,故|PF2|=7.4.双曲线的焦点在x轴上,虚轴长为12,离心率为54,则双曲线的标准方程为.答案x264-y236=1解析由已知可设该双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),则2b=12,即b=6,所以b2=36.又e=ca=54,c2=a2+b2,故可得a2=64,则该双曲线的标准方程为x264-y236=1.5.已知双曲线的方程为x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点.若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为.答案2√3解析设|PF1|=m,|PF2|=n,则{|m-n|=2,m2+n2=(2√2)2,∴mn=2,∴(m+n)2=m2+n2+2mn=8+4=12,∴m+n=2√3,即|PF1|+|PF2|=2√3.6.(2018江苏扬州中学高三模拟)若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√10,则双曲线C的渐近线方程为.答案y=±3x2解析由双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√10,得c=√10a,则c2=a2+b2=10a2,则b=3a,则双曲线C的渐近线方程为y=±bax=±3x.7.(2019江苏高考数学模拟)若双曲线x2a-y23=1的焦距等于4,则它的两准线之间的距离等于.答案1解析双曲线x2a-y23=1的焦距等于4,则2c=4,c=2,则a+3=4,a=1,则它的两准线之间的距离等于2a2c=2×12=1.8.(2018江苏南通高考数学冲刺小练(37))已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,点B(0,b),且⃗BA·⃗BF=0,则双曲线C的离心率为.答案√5+12解析由题意知A(-a,0),F(c,0),则⃗BA·⃗BF=(-a,-b)·(c,-b)=-ac+b2=0,则ac=b2=c2-a2,即e2-e-1=0,且e>1,解得e=√5+12.9.已知椭圆D:x250+y225=1与圆M:x2+(y-5)2=9,双曲线G与椭圆D有相同的焦点,它的两条渐近线恰好与圆M相切,求双曲线G的方程.解析因为椭圆D的两个焦点坐标为(-5,0),(5,0),所以双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,c=5.设双曲线G的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),所以渐近线方程为bx±ay=0且a2+b2=25①,又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r=3,所以|5a|√b2+a2=3②.由①②解得a=3,b=4,所以双曲线G的方程为x29-y216=1.310.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离等于√3,过右焦点F2的直线l交双曲线于A,B两点,F1为左焦点.(1)求双曲线的方程;(2)若△F1AB的面积等于6√2,求直线l的方程.解析(1)依题意可知b=√3,ca=2a=1,c=2,⇒所以双曲线的方程为x2-y23=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)知F2(2,0).易验证当直线l的斜率不存在时不满足题意,故可设直线l:y=k(x-2)(k≠0),由{y=k(x-2),x2-y23=1消去y,得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0,k≠±√3,所以x1+x2=4k2k2-3,x1x2=4k2+3k2-3,y1-y2=k(x1-x2),所以△F1AB的面积S=12×2c|y1-y2|=2|k|·|x1-x2|=2|k|·√16k4-4(k2-3)(4k2+3)|k2-3|=12|k|·√k2+1|k2-3|=6√2.得k4+8k2-9=0,解得k=±1.所以直线l的方程为y=x-2或y=-x+2.11.已知椭圆C1的方程为x24+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点,O为坐标原点.(1)求双曲线C2的方程;(2)若直线l:y=kx+√2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且⃗OA·⃗OB>2,求k的取值范围.4解析(1)设双曲线C2的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),则a2=4-1=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1,故双曲线C2的方程为x23-y2=1.(2)将y=kx+√2代入x23-y2=1,得(1-3k2)x2-6√2kx-9=0.由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得{1-3k2≠0,Δ=(-6√2k)2+36(1-3k2)=36(1-k2)>0,∴k2<1且k2≠13.①设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6√2k1-3k2,x1x2=-91-3k2,∴⃗OA·⃗OB=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+√2)(kx2+√2)=(k2+1)x1x2+√2k(x1+x2)+2=3k2+73k2-1.又⃗OA·⃗OB>2,∴3k2+73k2-1>2,即-3k2+93k2-1>0,解得13
