第18练圆锥曲线的定义、方程及性质[明晰考情]1.命题角度：圆锥曲线是高考的热点，每年必考，小题中考查圆锥曲线的定义、方程、离心率等.2.题目难度：中档难度或偏难．考点一圆锥曲线的定义与标准方程方法技巧(1)椭圆和双曲线上的点到两焦点的距离可以相互转化，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．(2)求圆锥曲线方程的常用方法：定义法、待定系数法．1．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()A．y2－＝1B．x2－＝1C．y2－＝1(y≤－1)D．x2－＝1(x≥1)答案C解析由两点间距离公式，可得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，因为A，B都在椭圆上，所以|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2<14，故F的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的下支．由c＝7，a＝1，得b2＝48，所以点F的轨迹方程是y2－＝1(y≤－1)，故选C.2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则该双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案B解析由e＝知a＝b，且c＝a.∴双曲线渐近线方程为y＝±x.又kPF＝＝＝1，∴c＝4，则a2＝b2＝＝8.故双曲线方程为－＝1.3．已知椭圆＋＝1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是________．答案1解析由椭圆的方程可知a＝2，c＝，且|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝3，|PF2|＝1.又|F1F2|＝2c＝2，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即△PF1F2为直角三角形，且∠PF2F1为直角，所以＝|F1F2||PF2|＝×2×1＝.4．已知抛物线y＝x2，A，B是该抛物线上两点，且|AB|＝24，则线段AB的中点P离x轴最近时点P的纵坐标为________．答案8解析由题意得抛物线的标准方程为x2＝16y，焦点F(0,4)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AB|≤|AF|＋|BF|＝(y1＋4)＋(y2＋4)＝y1＋y2＋8，∴y1＋y2≥16，则线段AB的中点P的纵坐标y＝≥8，∴线段AB的中点P离x轴最近时点P的纵坐标为8.考点二圆锥曲线的几何性质要点重组在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝；在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.5．(2018·全国Ⅱ)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x答案A解析双曲线－＝1的渐近线方程为bx±ay＝0.又 离心率＝＝，∴a2＋b2＝3a2，∴b＝a(a＞0，b＞0)．∴渐近线方程为ax±ay＝0，即y＝±x.故选A.6．(2018·全国Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为()A.B．2C.D.答案C解析如图，过点F1向OP的反向延长线作垂线，垂足为P′，连接P′F2，由题意可知，12PFFS△2四边形PF1P′F2为平行四边形，且△PP′F2是直角三角形．因为|F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a.又|PF1|＝a＝|F2P′|，|PP′|＝2a，所以|F2P|＝a＝b，所以c＝＝a，所以e＝＝.7．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为______．答案y＝±x解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，∴y1＋y2＝.又 |AF|＋|BF|＝4|OF|，∴y1＋＋y2＋＝4×，即y1＋y2＝p，∴＝p，即＝，∴＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.8．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．答案解析如图，由题意知点A(a，0)，双曲线的一条渐近线l的方程为y＝x，即bx－ay＝0，∴点A到l的距离d＝.又∠MAN＝60°，|MA|＝|NA|＝b，∴△MAN为等边三角形，∴d＝|MA|＝b，即＝b，∴a2＝3b2，∴e＝＝＝.3考点三圆锥曲线的综合问题方法技巧(1)圆锥曲线范围、最值问题的常用方法定义性质转化法；目标函数法；条件不等式法．(2)圆锥曲线中的定值、定点问题可以利用特例法寻求突破，然后对一般情况进行证明．9．如图，点F1，F2是椭圆C1的左、右焦点，椭圆C1与双曲线C2的渐近线交于点P，PF1⊥PF2，椭圆C1与双曲线C2的离心率...
