第二节平面向量的基本定理及坐标运算课时作业练1.(2018江苏盐城高三(上)期中)设向量a=(2,3),b=(3,3),c=(7,8),若c=xa+yb(x,y∈R),则x+y=.答案83解析根据题意有{7=2x+3y,8=3x+3y,解得{x=1,y=53,则x+y=83.2.如图,设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD的交点,下列向量组:①⃗AD与⃗AB;②⃗DA与⃗BC;③⃗CA与⃗DC;④⃗OD与⃗OB,其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是.(只填序号)答案①③解析①中⃗AD与⃗AB不共线,可作为基底;②中⃗DA与⃗BC为共线向量,不可作为基底;③中⃗CA与⃗DC是两个不共线的向量,可作为基底;④中⃗OD与⃗OB是共线向量,不可作为基底.综上,只有①③中的向量组可作为基底.3.(2018江苏泰兴中学月考)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若(ma+nb)∥(a-2b),n≠0,则mn等于.答案-12解析由向量的坐标运算知,a-2b=(4,-1),ma+nb=(2m,3m)+(-n,2n)=(2m-n,3m+2n),由题意得4(3m+2n)=-(2m-n),即n=-2m,所以mn=-12.4.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λμ=.1答案4解析以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系,设每个小正方形的边长为1个单位,则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a=⃗AO=(-1,1),b=⃗OB=(6,2),c=⃗BC=(-1,-3).由c=λa+μb可得{-1=-λ+6μ,-3=λ+2μ,解得{λ=-2,μ=-12,所以λμ=4.5.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(m,3m-4),b=(1,2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则实数m的取值范围是.答案(-∞,4)∪(4,+∞)解析由平面向量基本定理可知a,b可作为该平面所有向量的一组基底,即a,b是不共线向量,则2m-(3m-4)≠0,即m≠4,则实数m的取值范围是(-∞,4)∪(4,+∞).6.设m=(a,b),n=(c,d),规定m,n之间的一种运算“”为⊗mn=(ac-bd,ad+bc),⊗若a=(-1,-2),ab=(4,5),⊗则b=.答案(-145,35)解析设b=(x,y),由题设的运算规则得ab=(-x+2y,-y-2x)=(4,5),⊗所以{-x+2y=4,-y-2x=5,解得{x=-145,y=35.7.已知平行四边形的三个顶点分别是A(4,2),B(5,7),C(-3,4),则第四个顶点D的坐标是.答案(-4,-1)或(12,5)或(-2,9)2解析设顶点D(x,y).若平行四边形为ABCD,则由⃗AB=(1,5),⃗DC=(-3-x,4-y),得{-3-x=1,4-y=5,所以{x=-4,y=-1;若平行四边形为ACBD,则由⃗AC=(-7,2),⃗DB=(5-x,7-y),得{5-x=-7,7-y=2,所以{x=12,y=5;若平行四边形为ABDC,则由⃗AB=(1,5),⃗CD=(x+3,y-4),得{x+3=1,y-4=5,所以{x=-2,y=9.综上所述,第四个顶点D的坐标为(-4,-1)或(12,5)或(-2,9).8.如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,DC∥AB,AD=DC=1,AB=2,E、F分别为AB、BC的中点,以A为圆心,AD为半径的圆弧DE的中点为P,若⃗AP=λ⃗ED+μ⃗AF(λ,μ∈R),则λ+μ=.答案3√24解析以点A为坐标原点,AB、AD所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则B(2,0),D(0,1),C(1,1),E(1,0),F(32,12),P(√22,√22),则⃗AP=λ⃗ED+μ⃗AF,即为(√22,√22)=λ(-1,1)+μ(32,12),则{-λ+32μ=√22,λ+12μ=√22,解得{λ=√24,μ=√22,所以λ+μ=√24+√22=3√24.9.已知向量a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1).(1)求|a+tb|的最小值及相应的t值,t∈R;(2)若a-tb与c共线,求实数t,t∈R.3解析(1)由题意知a+tb=(-3+2t,2+t),∴|a+tb|=√(-3+2t)2+(2+t)2=√5t2-8t+13=√5(t-45)2+495≥√495=7√55,当且仅当t=45时取等号,即|a+tb|的最小值为7√55,此时t=45.(2)由题意知a-tb=(-3,2)-t(2,1)=(-3-2t,2-t), a-tb与c共线,∴(-3-2t)×(-1)-(2-t)×3=0,解得t=35.10.(2018南通高三第二次调研测试)在平面直角坐标系xOy中,设向量a=(cosα,sinα),b=(-sinβ,cosβ),c=(-12,√32).(1)若|a+b|=|c|,求sin(α-β)的值;(2)设α=5π6,0<β<π,且a∥(b+c),求β的值.解析(1)因为a=(cosα,sinα),b=(-sinβ,cosβ),c=(-12,√32),所以|a|=|b|=|c|=1,且a·b=-cosαsinβ+sinαcosβ=sin(α-β).因为|a+b|=|c|,所以|a+b|2=|c|2,即a2+2a·b+b2=1,所以1+2sin(α-β)+1=1,即sin(α-β)=-12.(2)因为α=5π6,所以a=(-√32,12).依题意得b+c=(-sinβ-12,cosβ+√32).4因为a∥(b+c),所以-√32(cosβ+√32)-12(-sinβ-12)=0,化简得12sinβ-√32cosβ=12,所以sin(β-π3)=12.因为0<β<π,所以-π3<β-π3<2π3,所以β-π3=π6,即β=π2.11.如图,已知△ABC...
