第12讲导数与函数的极值、最值1．函数f(x)＝xe－x，x∈[0，4]的最大值为________．解析：f′(x)＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令f′(x)＝0，得x＝1.又f(0)＝0，f(4)＝，f(1)＝e－1＝，所以f(1)为最大值．答案：2．函数f(x)＝(2x－x2)ex的极大值为________．解析：f′(x)＝(2－2x)ex＋(2x－x2)ex＝(2－x2)ex，由f′(x)＝0，得x＝－或x＝.由f′(x)<0，得x<－或x>.由f′(x)>0，得－
0，f′(x)＝3(x＋)(x－)，由已知条件0<<1，解得01，即a<－1.答案：(－∞，－1)5．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．解析：f′(x)＝＝，当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当－0，f(x)单调递增，当x＜－时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x＝时，f(x)取到极大值，令f()＝＝，＝<1，不合题意．所以f(x)max＝f(1)＝＝，a＝－1.答案：－16．设函数f(x)＝x3－－2x＋5，若对任意的x∈[－1，2]，都有f(x)>a，则实数a的取值范围为________．解析：f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得3x2－x－2＝0，解得x＝1或x＝－，又f(1)＝，f＝，f(－1)＝，f(2)＝7，故f(x)min＝，所以a<.答案：7．若函数f(x)＝x2－lnx＋1在其定义域内的一个子区间(a－1，a＋1)内存在极值，则1实数a的取值范围是________．解析：根据题意，f′(x)＝2x－＝，所以函数有一个极值点，所以有解得1≤a<，所以实数a的取值范围是.答案：8．(2019·苏锡常镇四市调研)若函数f(x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，则实数a的最大值为________．解析：因为f(x)＝x2－ex－ax，所以f′(x)＝2x－ex－a，由题意f′(x)＝2x－ex－a≥0有解，即a≤－ex＋2x有解，令g(x)＝－ex＋2x，g′(x)＝－ex＋2＝0，x＝ln2，g′(x)＝－ex＋2>0，即xln2时，该函数单调递减，所以，当x＝ln2，g(x)取得最大值2ln2－2，所以a≤2ln2－2.答案：2ln2－29．若函数f(x)＝xlnx－x2－x＋1有两个极值点，则a的取值范围为________．解析：因为f(x)＝xlnx－x2－x＋1(x>0)，所以f′(x)＝lnx－ax，f″(x)＝－a＝0，得一阶导函数有极大值点x＝，由于x→0时f′(x)→－∞；当x→＋∞时，f′(x)→－∞，因此原函数要有两个极值点，只要f′＝ln－1>0，解得00)上的最小值．解：(1)当a＝5时，g(x)＝(－x2＋5x－3)·ex，g(1)＝e，所以g′(x)＝(－x2＋3x＋2)·ex，故切线的斜率为g′(1)＝4e.所以切线的方程为y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e.(2)f′(x)＝lnx＋1.x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xf′(x)－0＋2f(x)极小值①当t≥时，在区间[t，t＋2]上f(x)为增函数，所以f(x)min＝f(t)＝tlnt；②当0
