高二数学抛物线的简单几何性质知识精讲VIP免费

高二数学抛物线的简单几何性质知识精讲【基础知识精讲】抛物线的几何性质、图形、标准方程列表如下：图形标准方程y2=2px(p＞0)y2=-2px(p＞0)x2=2py(p＞0)x2=-2py(p＞0)焦点坐标(,0)(-,0)(0,)(0，-)准线方程x=-x=y=-y=范围x≥0x≤0y≥0y≤0对称轴x轴x轴y轴y轴顶点(0，0)(0，0)(0，0)(0，0)离心率e=1e=1e=1e=1焦半径｜PF｜=x0+｜PF｜=-x0｜PF｜=+y0｜PF｜=-y0参数p的几何意义参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔.本节学习要求：1.抛物线方程的确定，先由几何性质确定抛物线的标准方程，再用待定系数法求其方程.2.解决有抛物线的弦中点问题及弦长问题与椭圆、双曲线一样，利用弦长公式、韦达定理、中点坐标公式及判别式解决.3.抛物线中有关轨迹与证明问题也与前面内容一样.常用方法有轨迹法、代入法、定义法.参数法等.证明的方法是解析法.通过学习本节内容，更进一步培养我们学习数学的兴趣，培养良好的思维品质.运用数形结合的思想方法解决问题，提高分析问题和解决的能力.【重点难点解析】1.抛物线的几何性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大，它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心.通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.应熟练掌握抛物线的四种标准方程.本节重点是抛物线的简单几何性质，难点是几何性质的灵活应用.例1已知抛物线顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点(x0，-8)到焦点的距离等于17，求抛物线方程.分析设方程为y2=2px(p＞0)或y2=-2px(p＞0)则x0+=17或-x0=17即x0=17-或x0=-17将(17-，-8)代入y2=2px解得p=2或p=32将(-17，-8)代入y2=-2px解得p=2或p=32∴所求抛物线方程为y2=±4x或y2=±64x.例2求抛物线y2=4x中斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.分析本例可设平行弦的纵截距为参数、运用判别式及韦达定理、中点坐标公式来求，也可设点参数运用点差法求解.设AB是抛物线中斜率为2的平行弦中任一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)AB中点M(x,y)由得：y=1代入y2=4x得x=∴轨迹方程为y=1(x＞)例3设点A和B为抛物线y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点.已知OA⊥OB，OM⊥AB于M，求点M的轨迹方程，并说明表示什么曲线.分析设A(4pt21,4pt1)，B(4pt22,4pt2)，OA、OB的斜率分别为kOA、kOB则kOA=,kOB=由OA⊥OB，得kOA·kOB==-1t1t2=-1① 点A在AB上，得直线AB的方程为y-4pt1=(x-4pt21)②由OM⊥AB，得直线OM方程为y=-(t1+t2)x③设点M(x,y),则x,y满足②③两式将②化为：y(t1+t2)=x+4pt1t2=x-4p④由③×④得：x2+y2-4px=0 A、B是原点以外的两点∴x≠0∴点M的轨迹是以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆(去掉原点).【难题巧解点拨】例1已知抛物线y2=2px上两点A、B，BC⊥x轴交抛物线于C，AC交x轴于E，BA延长交x轴于D，求证：O为DE中点.分析只需证出D、E两点的横坐标互为相反数即可，设A(2pt21,2pt1)，B(2pt22,2pt2)则C(2pt22,-2pt2)AC：y-2pt1=(x-2pt21)令y=0,得xD=2pt1t2BA：y-2pt1=(x-2pt21)令y=0,得xE=-2pt1t2∴xD+xE=0即O为DE中点.例2设抛物线过定点A(0，2)且以x轴为准线.(Ⅰ)试求抛物线顶点M的轨迹C的方程；(Ⅱ)如果点P(a,1)不在线段y=1(-2≤x≤2)上，那么当a取何值时，过P点存在一对互相垂直的直线同时与曲线C各有两个交点?分析(Ⅰ)设抛物线顶点M(x,y)，y＞0，则其焦点为F(x,2y).据抛物线定义有=2即+(y-1)2=1(y≠0)∴抛物线顶点M的轨迹C的方程是+(y-1)2=1(y≠0)(Ⅱ)过P点的直线可设为l:y-1=k(x-a).由已知P(a,1)不在曲线C上，则消去y，得x2+4k2(x-a)2=4即(1+4k2)x2-8k2ax+4(k2a2-1)=0∴△=16［k2(4-a2)+1］过点P存在一对互相垂直的直线同时与曲线C各有两个不同的交点的充要条件是关于斜率k的不等式组有解 点P不在直线y=1(-2≤x≤2)上，∴｜a｜＞2，4-a2＜0.∴上不等式组可化为∴a2-4<解a2＜5又｜a｜＞2,∴2＜｜a｜＜即a∈(-,-2)∪(2,)【命题趋势分析】本节与椭圆、双曲线的相同内容相似，都是高考的重要内容.圆锥曲线的基础知识；直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、中点弦及弦的中点的轨迹问题；圆锥曲线中的有关最值问题等等.本章内容为高考压轴题的高频题.【典型热点考题】例1抛物线y=x2的弦AB保持与圆x2+y2=1相切移动，求...