第三章数系的扩充与复数的引入单元质量评估(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a是实数,是纯虚数,则a等于()A.1B.-1C.D.-【解析】选A.==是纯虚数,则a-1=0,a+1≠0,解得a=1.【补偿训练】复数a2-b2+(a+|b|)i(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是()A.a=±bB.a<0,且a≠-bC.a>0,且a≠bD.a>0,且a=±b【解析】选D.由已知复数为纯虚数得即所以a>0且a=±b.【误区警示】求一个复数是纯虚数的条件.避免出现只限制实部等于0,而忽视虚部不等于0的条件的错误.2.(2016·山东高考)若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i【解题指南】利用共轭复数的性质解题.【解析】选B.设z=a+bi(a,b∈R),则2z+=3a+bi=3-2i,所以a=1,b=-2,所以z=1-2i.13.复数|z|=1,且z≠±1,则是()A.实数B.纯虚数C.非纯虚数D.复数【解析】选B.设z=x+yi(x,y∈R),由z≠±1,知y≠0,因为|z|=1,所以x2+y2=1,所以===i,因为y≠0,所以该数为纯虚数.4.(2016·全国卷Ⅰ)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=()A.-3B.-2C.2D.3【解析】选A.因为(1+2i)(a+i)=a-2+(1+2a)i,其实部与虚部相等,即a-2=1+2a,解得a=-3.5.设z∈C,若z2为纯虚数,则z在复平面上的对应点落在()A.实轴上B.虚轴上C.直线y=±x(x≠0)上D.以上都不对【解析】选C.设z=x+yi(x,y∈R),则z2=(x+yi)2=x2-y2+2xyi.因为z2为纯虚数,所以所以y=±x(x≠0).6.复数(i是虚数单位)的共轭复数是()A.-iB.+iC.-iD.-+i【解析】选B.===-i,2所以其共轭复数为+i.7.(2017·全国丙卷)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=()A.B.C.D.2【解析】选C.由题意知:z====i+1,则|z|==.8.如图,在复平面内,复数z1和z2对应的点分别是A和B,则=()A.+iB.+iC.--iD.--i【解析】选C.由题图知,z1=-2-i,z2=i,所以===--i.9.复数1+在复平面上对应的点的坐标是()A.(1,1)B.(-1,1)C.(-1,-1)D.(1,-1)【解析】选D.1+=1-i,所以对应的点的坐标为(1,-1).310.如果一个复数与它的模的和为5+i,那么这个复数是()A.B.iC.+iD.+2i【解析】选C.设z=x+yi(x,y∈R),因为z+|z|=5+i,所以x+yi+=5+i,所以解得所以z=+i.【补偿训练】若|z|=2,且|z+i|=|z-1|,则复数z=________.【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则解得或答案:(1-i)或-(1-i)11.(2017·济宁高二检测)在复平面内,复数ω=-+i对应的向量为,复数ω2对应的向量为,则向量对应的复数是()4A.1B.-1C.iD.-i【解题指南】先求出对应的复数ω2,再由=-,求对应的复数.【解析】选D.ω2==--i.因为=-,故对应的复数为-=-i.【补偿训练】在复平面内,复数z=1-i对应的向量为,复数z2对应的向量为,那么向量对应的复数为()A.1-iB.1+iC.-1+iD.-1-i【解析】选D.复数z=1-i对应的向量为,复数z2=-2i对应的向量为,则向量对应的复数为:-2i-(1-i)=-1-i.12.设z1,z2为复数,则下列四个结论中正确的是()A.若+>0,则>-B.|z1-z2|=C.+=0⇔z1=z2=0D.z1-是纯虚数或零【解析】选D.举例说明:若z1=4+i,z2=2-2i,则=15+8i,=-8i,+>0,但与-都是虚数,不能比较大小,故A错误;因为|z1-z2|2不一定等于(z1-z2)2,故|z1-z2|与不一定相等,故B5错误;若z1=2+i,z2=1-2i,则=3+4i,=-3-4i,+=0,但z1=z2=0不成立,故C错误;设z1=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,故z1-=2bi,当b=0时,是零,当b≠0时,是纯虚数,故D正确.【补偿训练】对任意复数z=x+yi(x,y∈R),i为虚数单位,则下列结论正确的是()A.|z-|=2yB.z2=x2+y2C.|z-|≥2xD.|z|≤|x|+|y|【解析】选D.因为=x-yi,所以z-=2yi,所以|z-|=2|y|,所以A错,易知C也不正确.因为z2=(x+yi)2=(x2-y2)+2xyi,所以B错,因为|z|=≤≤|x|+|y|,故D正确.二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知复数z=1+i,则-z=________.【解析】-z=-1-i=×-1-i=-2i.答案:-2i14.(2017·银川高二检测)如果x-1+yi与i-3x是共轭复数(x,y是实数),则x+y=________.【解析】由题意得x-1=-3x,y=-1,解得x=,y=-1,6所以x+y=-.答案:-15.在复数范围内解方程|z|2+(z+)i=(i为虚数单位),则z=________.【解析】原方程化简为|z|2+(z+)i=1-i,设z=x+yi(x,y∈R),代入上述方程得x2+y2+2xi=1-i,所以x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=±,所以原方程的解是z=-±i.答案...
