第48课基本不等式及其应用(二)(本课对应学生用书第104-105页)自主学习回归教材1.基本不等式的应用(1)研究函数的性质;(2)求解最值问题;(3)确定参数的取值范围;(4)解决实际问题.2.基本不等式的综合应用三角函数、数列、立体几何、解析几何中的最值问题.3.解不等式的问题的一般步骤(1)分析题意;(2)建立数学模型;(3)解决数学问题;(4)检验作答.1.(必修5P91习题3改编)函数y=x+4x(x≠0)的值域为.[答案](-∞,-4]∪[4,+∞)[解析]分x>0与x<0两种情况讨论,再结合基本不等式求解.2.(必修5P91习题4改编)已知函数y=tanθ+cossin,θ∈,2,那么函数y的最大值为.[答案]-2[解析]因为θ∈,2,所以sinθ>0,cosθ<0,sincos<0,y=tanθ+cossin=---sincoscossin≤-2,当且仅当sinθ=-cosθ,即θ=34时取等号.13.(必修5P90例3改编)过定点P(1,2)的直线在x轴与y轴的正半轴上的截距分别为a,b,则ab的最小值为.[答案]8[解析]设直线方程为xa+yb=1,则1a+2b=1≥212·ab,所以ab≥8,所以ab的最小值为8,当且仅当1a=2b,即a=2,b=4时取等号.4.(必修5P91习题3改编)函数y=2254xx的最小值为.[答案]52[解析]y=2254xx=24x+214x,设t=24x(t≥2),易知y=t+1t在[2,+∞)上单调递增,所以当t=2,即24x=2,x=0时,ymin=52.5.(必修5P90练习1改编)已知(m-2)(n-1)=4,且m>2,n>1,那么m+n的最小值是.[答案]7[解析]由(m-2)(n-1)=4,得m=4-1n+2,所以m+n=4-1n+2+n=4-1n+(n-1)+3≥24+3=7(当且仅当n=3时取等号),故m+n的最小值为7.2
