高中数学 第三章 导数及其应用章末小结 新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学试题VIP专享VIP免费

【金版学案】2015-2016学年高中数学第三章导数及其应用章末小结新人教A版选修1-1高考对导数的考查形式多样，难易均有，可以在选择题和填空题中出现，主要以导数的运算，导数的几何意义，导数的应用为主(研究单调性、极值和最值等)；也容易在解答题中出现，有时候作为压轴题，考查导数的综合应用，主要以函数为背景，以导数为工具，考查运用导数研究函数的单调性、极值和最值问题，在函数、不等式、解析几何等知识网络交汇点命题．通过导数研究函数图象的变化规律，是考试的热点题型．导数绝对值的大小，反映了函数变化的快慢，在图象上表现为陡缓；导数的正负，反映了函数的增减性，在图象上表现为升降．y＝f(x)的导数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()分析：解答本题可以从导函数递增，即切线斜率越来越大入手分析．解析：因为函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)在区间[a，b]上是增函数，即在区间[a，b]上各点处函数的变化率是递增的，故图象应越来越陡峭．由图易知选A.答案：A1导数的几何意义主要应用在研究函数图象的切线问题中，此时关键是抓住切点，它是联结曲线和其切线的“桥梁”，在做题中若题中没有给出切点，往往需要设出切点．特别提醒：审题时注意两种说法：“在某点处的切线与”与“过某点的切线”不一样．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解析：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上． f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1， 直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16， 直线l过点(0，0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16整理得：x＝－8，∴x0＝－2.∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．(3) 切线与直线y＝－＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点坐标(x0、y0)、则f′(x0)＝3x＋1＝4∴x0＝±1，∴或即切点为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.导数与函数的单调性相结合的常见问题：(1)判断单调性；(2)求函数的单调区间；(3)已知单调性，求参数的值．特别提醒：(1)要在定义域内求单调区间；单调区间不能“∪”连接．(2)已知单调性，求参数的值时，注意端点值的处理．函数f(x)＝lnx－(x>0，a∈R)．(1)试求f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求证：函数f(x)的图象存在唯一零点的充要条件是a＝1.分析：解答(1)可以利用解不等式f′(x)>0或f′(x)<0得函数的单调区间；(2)可以从充分性与必要性两方面来证明．(1)解析：f′(x)＝－＝(x>0)．当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)，单调递增；当a>0时，x∈(0，a)，f′(x)<0，f(x)在(0，a)上单调递减；x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(a，＋∞)上单调递增．综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调递增区间为(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)．(2)证明：充分性：a＝1时，由(1)知，在x＝1处有极小值也是最小值，即f(x)min＝f(1)＝0.而f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴在(0，＋∞)上有唯一的零点x＝1.必要性：f(x)＝0在(0,＋∞)上有唯一解，且a>0，由(1)知，在x＝a处有极小值也是最小值f(a)，f(a)＝0，即lna－a＋1＝0.令g(a)＝lna－a＋1，g′(a)＝－1＝.当00，g(a)在(0，1)上单调递增；当a>1时，g′(a)<0，g(a)在(1，＋∞)上单调递减．∴在(0，＋∞)上有唯一解a＝1，使得g(a)＝0.利用导数求函数的极值和最值也是高考的热点内容之一，在主客观题中均有体现．(1)应用导数求函数极值的一般步骤：①确定函数f(x)的定义域；②解方程f′(x)＝0的根；③检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号，若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值，若左负右正，则f(x)在此根外取得极小值，否...