第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例A组基础题组1.已知=(2,1),点C(-1,0),D(4,5),则向量在方向上的投影为()A.-B.-3C.D.32.(2017北京东城二模)已知向量a=(1,2),b=(x,4),且a⊥b,那么x的值为()A.-2B.-4C.-8D.-163.(2015北京通州一模)在正方形ABCD中,已知AB=3,E是CD的中点,则·等于()A.B.6C.D.4.设向量a,b满足|a|=1,|a-b|=,a·(a-b)=0,则|2a+b|=()A.2B.2C.4D.45.(2018北京海淀期末)在△ABC中,AB=AC=1,D是AC边的中点,则·的取值范围是()A.B.C.D.6.(2017北京东城期末)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=5,b=7,c=8,则·等于.7.(2015北京朝阳一模)已知平面向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则a·(a+b)=.8.(2016北京西城二模)设平面向量a,b满足|a|=|b|=2,a·(a+b)=7,则向量a,b夹角的余弦值为.9.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角θ;(2)求|a+b|和|a-b|.10.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sinx,cosx),x∈.(1)若m⊥n,求tanx的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.B组提升题组11.(2016北京西城一模)在平面直角坐标系xOy中,向量=(-1,2),=(2,m),若O,A,B三点能构成三角形,则()A.m=-4B.m≠-4C.m≠1D.m∈R12.(2015北京十三中模拟)△ABC外接圆的半径为1,圆心为O,且3+4+5=0,则·的值为()A.-B.C.-D.13.(2017北京东城一模)已知△ABC中,∠A=120°,且AB=AC=2,那么BC=,·=.14.(2017北京,12,5分)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则·的最大值为.15.(2017北京海淀二模)已知O为原点,点P为直线2x+y-2=0上的任意一点,非零向量a=(m,n).若·a恒为定值,则=.16.(2017北京丰台期末)如图,边长为2的正三角形ABC放置在平面直角坐标系xOy中,AC在x轴上,顶点B与y轴上的定点P重合.将正三角形ABC沿x轴正方向滚动,即先以顶点C为旋转中心顺时针旋转,当顶点B落在x轴上时,再以顶点B为旋转中心顺时针旋转,如此继续.当△ABC滚动到△A1B1C1时,顶点B运动轨迹的长度为;在滚动过程中,·的最大值为.17.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA),m·n=sin2C.(1)求角C的大小;(2)若sinA,sinC,sinB成等差数列,且·(-)=18,求c.答案精解精析A组基础题组1.C因为点C(-1,0),D(4,5),所以=(5,5),又=(2,1),所以向量在方向上的投影为||cos<,>===.2.C∵a=(1,2),b=(x,4),且a⊥b,∴x+8=0,∴x=-8.3.C由题意得·=·(-)=||2-||2=,故选C.4.B由a·(a-b)=0,可得a·b=a2=1,由|a-b|=,可得(a-b)2=3,即a2-2a·b+b2=3,解得b2=4.故(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=12,所以|2a+b|=2.5.A∵在△ABC中,AB=AC=1,D是AC的中点,∴=,·=(-)·=-+·=-+cosA.∵cosA∈(-1,1),∴-+cosA∈,故选A.6.答案44解析由a=5,b=7,c=8,得cosA===.∴·=cbcosA=8×7×=44.7.答案解析a·(a+b)=|a|2+a·b=1+|a||b|·cos60°=1+cos60°=.8.答案解析∵|a|=|b|=2,且a·(a+b)=7,∴a·a+a·b=7.∴|a|2+|a|·|b|·cos
=7.∴4+4cos=7.∴cos=.9.解析(1)由(2a-3b)·(2a+b)=4|a|2-4a·b-3|b|2=61及|a|=4,|b|=3得a·b=-6,∴cosθ===-.又θ∈[0,π],∴θ=.(2)|a+b|====.同理,|a-b|==.10.解析(1)∵m⊥n,∴m·n=0,故sinx-cosx=0,∴tanx=1.(2)∵m与n的夹角为,∴cos===,故sin=.又x∈,∴x-∈,则x-=,即x=,故x的值为.B组提升题组11.B=(-1,2),=(2,m),若O,A,B三点能构成三角形,则与不能平行,即≠.∴m≠-4.故选B.12.A因为3+4+5=0,所以3+4=-5,两边平方得,9+24·+16=25①,由题意可知,||=||=||=1,代入①式可得·=0,所以·=-(3+4)·(-)=-(3·-3+4-4·)=-.故选A.13.答案2;-6解析△ABC中,∠A=120°,且AB=AC=2,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=22+22-2×2×2×cos120°=12,∴BC=2.∴·=(-)·(-)=-+·=-22+2×2×cos120°=-6.14.答案6解析解法一:·表示在方向上的投影与||的乘积,当P在B点时,·有最大值,此时·=2×3=6.解法二:设P(x,y),则·=(2,0)·(x+2,y)=2x+4,由题意知-1≤x≤1,∴x=1时,·取最大值6,∴·的最大值为6.15.答案2解析设点P(t,2-2t),则=(t,2-2t),所以·a=tm+(2-2t)n.设·a=λ,则λ=tm+(2-2t)n,(m-2n)t+2n=λ,当m-2n=0时,·a恒为定值,此时=2.16.答案;2解析根据题意知,点B的轨迹为两个圆弧和一个点,且圆弧所对的圆心角为,圆弧的半径为2,∴顶点B运动轨迹的长度为2×2×=.=(0,),设B(x,y),①没滚动前点B的坐标为(0,),∴·=3;②第一次滚动过程中点B的纵坐标y≤2,∴·≤2;③第二次滚动过程中点B的坐标为(3,0),∴·=0;④第三次滚动过程中点B的纵坐标y≤2;∴·≤2.∴·的最大值为2.17.解析(1)m·n=sinA·cosB+sinB·cosA=sin(A+B),在△ABC中,A+B=π-C,0
