第5讲随机变量及其概率分布、均值与方差1．从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；(2)求所选3人中男生人数ξ的概率分布．解：(1)所选3人中恰有一名男生的概率P＝＝.(2)ξ的可能取值为0，1，2，3.P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.故ξ的概率分布为ξ0123P2.(2019·宿迁模拟)某学校的三个学生社团的人数分布如下表(每名学生只能参加一个社团)：围棋社舞蹈社拳击社男生51028女生1530m学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人，结果拳击社被抽出了6人．(1)求拳击社团被抽出的6人中有5人是男生的概率；(2)设拳击社团有X名女生被抽出，求X的概率分布．解：(1)由于按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人，拳击社被抽出了6人，所以＝，所以m＝2.设A为“拳击社团被抽出的6人中有5人是男生”，则P(A)＝＝.(2)由题意可知：X＝0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，X的概率分布为X012P3.(2019·南通三校联考)在一个盒子中有大小一样的7个球，球上分别标有数字1，1，2，2，2，3，3.现从盒子中同时摸出3个球，设随机变量X为摸出的3个球上的数字和．(1)求P(X≥7)；(2)求X的概率分布，并求其数学期望E(X)．解：(1)由题知P(X＝7)＝＝，P(X＝8)＝＝.1所以P(X≥7)＝.(2)由题知P(X＝6)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝4)＝＝.所以随机变量X的概率分布为X45678P所以E(X)＝4×＋5×＋6×＋7×＋8×＝6.4．(2019·扬州期中)3个女生，4个男生排成一排，记X表示相邻女生的个数，求随机变量X的概率分布及数学期望．解：X的可能取值有0，2，3，P(X＝0)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝，所以随机变量X的概率分布为X023PE(X)＝0×＋2×＋3×＝.5．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P(ξ＝0)；(2)求ξ的概率分布，并求其数学期望E(ξ)．解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C对相交棱，因此P(ξ＝0)＝＝＝.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对．故P(ξ＝)＝＝，于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝.所以随机变量ξ的概率分布是ξ01P因此E(ξ)＝1×＋×＝.6．(2019·连云港模拟)某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为.该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6，击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．(1)设X表示目标被击中的次数，求X的概率分布；(2)若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P(A)．解：(1)依题意知X～B，P(X＝0)＝C＝，P(X＝1)＝C＝，P(X＝2)＝C＝，P(X＝3)＝C＝，P(X＝4)＝C＝.所以X的概率分布为X012342P(2)设Ai表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i＝1，2.Bi表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i＝1，2.依题意知P(A1)＝P(B1)＝0.1，P(A2)＝P(B2)＝0.3，A＝A1B1∪A1B1∪A1B1∪A2B2，所求的概率为P(A)＝P(A1B1)＋P(A1B1)＋P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1)＋P(A1)P(B1)＋P(A1)P(B1)＋P(A2)·P(B2)＝0.1×0.9＋0.9×0.1＋0.1×0.1＋0.3×0.3＝0.28.7．(2019·徐州、淮安、宿迁、连云港四市模拟)某校开设8门校本课程，其中4门课程为人文科学，4门为自然科学，学校要求学生在高中三年内从中选修3门课程，假设学生选修每门课程的机会均等．(1)求某同学至少选修1门自然科学课程的概率；(2)已知某同学所选修的3门课程中有1门人文科学，2门自然科学，若该同学通过人文科学课程的概率都是，自然科学课程的概率都是，且各门课程通过与否相互独立．用ξ表示该同学所选的3门课程通过的门数，求随机变量ξ的概率分布和数学期望．解：(1)记“某同学至少选修1门自然科学课程”为事件A，则P(A)＝1－＝1－＝，所以该同学至少选修1门自然科学课程的概率为.(2)随机变量ξ的所有可能取值有0，1，2，3.因为P(ξ＝0)＝×＝，P(ξ＝1)＝×＋×C××＝，P(ξ＝2)＝×C××＋×＝...
