课时跟踪检测（十五）大题考法——圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1
设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点为A，B，C是椭圆上关于原点对称的两点(B，C均不在x轴上)，线段AC的中点为D，且B，F，D三点共线．(1)求椭圆E的离心率；(2)设F(1,0)，过F的直线l交E于M，N两点，直线MA，NA分别与直线x＝9交于P，Q两点．证明：以PQ为直径的圆过点F
解：(1)法一：由已知A(a,0)，F(c,0)，设B(x0，y0)，C(－x0，－y0)，则D， B，F，D三点共线，∴BF∥BD，又BF＝(c－x0，－y0)，BD＝，∴－y0(c－x0)＝－y0·，∴a＝3c，从而e＝
法二：连接OD，AB(图略)，由题意知，OD是△CAB的中位线，∴OD綊AB，∴△OFD∽△AFB
∴＝＝，即＝，解得a＝3c，从而e＝
(2)证明： F的坐标为(1,0)，∴c＝1，从而a＝3，∴b2＝8
∴椭圆E的方程为＋＝1
设直线l的方程为x＝ny＋1，由消去x得，(8n2＋9)y2＋16ny－64＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝，其中M(ny1＋1，y1)，N(ny2＋1，y2)．∴直线AM的方程为＝，∴P，同理Q，从而FP·FQ＝·＝64＋＝64＋＝64＋＝0
∴FP⊥FQ，即以PQ为直径的圆恒过点F
2．(2017·浙江高考)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y)
过点B作直线AP的垂线，垂足为Q
(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|·|PQ|的最大值．解：(1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，因为－0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． k＝kOA·kOB(kAB>0)，∴k＝＝，化简得kABm(x1＋x2)＋m2＝0， A，O，B三点不共线，∴m≠0，∴kAB(x1＋x2)＋m＝0，①由消去y，整理，得(1＋4k)x2＋8kAB
