课时跟踪检测（十五）大题考法——圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点为A，B，C是椭圆上关于原点对称的两点(B，C均不在x轴上)，线段AC的中点为D，且B，F，D三点共线．(1)求椭圆E的离心率；(2)设F(1,0)，过F的直线l交E于M，N两点，直线MA，NA分别与直线x＝9交于P，Q两点．证明：以PQ为直径的圆过点F.解：(1)法一：由已知A(a,0)，F(c,0)，设B(x0，y0)，C(－x0，－y0)，则D， B，F，D三点共线，∴BF∥BD，又BF＝(c－x0，－y0)，BD＝，∴－y0(c－x0)＝－y0·，∴a＝3c，从而e＝.法二：连接OD，AB(图略)，由题意知，OD是△CAB的中位线，∴OD綊AB，∴△OFD∽△AFB.∴＝＝，即＝，解得a＝3c，从而e＝.(2)证明： F的坐标为(1,0)，∴c＝1，从而a＝3，∴b2＝8.∴椭圆E的方程为＋＝1.设直线l的方程为x＝ny＋1，由消去x得，(8n2＋9)y2＋16ny－64＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝，其中M(ny1＋1，y1)，N(ny2＋1，y2)．∴直线AM的方程为＝，∴P，同理Q，从而FP·FQ＝·＝64＋＝64＋＝64＋＝0.∴FP⊥FQ，即以PQ为直径的圆恒过点F.2．(2017·浙江高考)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|·|PQ|的最大值．解：(1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，因为－b>0)的长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点.(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆上有相异的两点A，B.A，O，B三点不共线，O为坐标原点，且直线AB，OA，OB的斜率满足k＝kOA·kOB(kAB>0)．(ⅰ)求证：|OA|2＋|OB|2为定值；(ⅱ)设△AOB的面积为S，当S取得最大值时，求直线AB的方程．解：(1)由题意可知，a＝2b，故椭圆方程可化为＋＝1， 椭圆过点，∴＋＝1，解得b＝1(负值舍去)，∴a＝2，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设直线AB的方程为y＝kABx＋m(kAB>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． k＝kOA·kOB(kAB>0)，∴k＝＝，化简得kABm(x1＋x2)＋m2＝0， A，O，B三点不共线，∴m≠0，∴kAB(x1＋x2)＋m＝0，①由消去y，整理，得(1＋4k)x2＋8kAB·mx＋4(m2－1)＝0，由根与系数的关系可得②Δ＝16(1＋4k－m2)>0，③将②代入①中得kAB＋m＝0(kAB>0)，解得kAB＝，则④(ⅰ)证明：|OA|2＋|OB|2＝x＋y＋x＋y＝x＋x＋2＝[(x1＋x2)2－2x1x2]＋2，将④代入得|OA|2＋|OB|2＝×[4m2－2×2(m2－1)]＋2＝5.(ⅱ)设点O到直线AB的距离为d，则S＝|AB|·d＝|x1－x2|·＝|m|＝|m|.由③及kAB＝可得m∈(－，0)∪(0，)，则S＝|m|＝≤＝1，当且仅当m＝±1时，等号成立．∴S取最大值时，直线的AB方程为y＝x＋1或y＝x－1.24．(2018·宝鸡质检)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其离心率e＝，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2面积的最大值为4.(1)求椭圆的方程；(2)若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，AC·BD＝0，求|AC|＋|BD|的取值范围．解：(1)由题意得，当点P是椭圆的上、下顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，此时S△PF1F2＝|F1F2|·|OP|＝bc，所以bc＝4，因为e＝＝，所以b＝2，a＝4，所以椭圆方程为＋＝1.(2)由(1)得，F1的坐标为(－2,0)，因为AC·BD＝0，所以AC⊥BD，①当直线AC与BD中有一条直线斜率不存在时，易得|AC|＋|BD|＝6＋8＝14.②当直线AC的斜率k存在且k≠0时，设其方程为y＝k(x＋2)，A(x1，y1)，C(x2，y2)，由得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－48＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.|AC|＝|x1－x2|＝，此时直线BD的方程为y＝－(x＋2)．同理由可得|BD|＝，|AC|＋|BD|＝＋＝，令t＝k2＋1，则|AC|＋|BD|＝＝(t>1)，因为t>1,...
