第22练直线与圆的综合问题[明晰考情]1.命题角度：求直线方程或圆的方程，直线、圆的位置关系.2.题目难度：圆的方程要求较高，试题难度中档或偏上.考点一直线与圆、圆与圆的位置关系方法技巧当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形.1.(2018·常熟月考)已知圆C经过A(－2，1)，B(5，0)两点，且圆心C在直线y＝2x上.(1)求圆C的方程；(2)动直线l:(m＋2)x＋(2m＋1)y－7m－8＝0过定点M，斜率为1的直线m过点M，直线m和圆C相交于P,Q两点，求PQ的长度.解(1)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得D＝－4,E＝－8,F＝－5，∴圆C的方程为x2＋y2－4x－8y－5＝0.(2)动直线l的方程为(x＋2y－7)m＋2x＋y－8＝0，则解得∴动直线l过定点M，∴直线m:y＝x－1，∴圆心C到m的距离为，∴PQ的长为2＝.2.(2018·江苏省扬州中学模拟)已知圆M的方程为x2＋2＝1，直线l的方程为x－2y＝0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.(1)若∠APB＝60°，试求点P的坐标；(2)若P点的坐标为，过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD＝时，求直线CD的方程.解(1)设P(2m，m)，由条件可知MP＝2，所以(2m)2＋(m－2)2＝4，解得m＝0,m＝，故所求点P的坐标为(0,0)或.(2)由题意知直线CD的斜率存在，设斜率为k，则直线CD的方程为y－1＝k(x－2)，由题意知圆心M到直线CD的距离为，1所以＝，解得k＝－1或－.故所求直线CD的方程为x＋y－3＝0或x＋7y－9＝0.3.(2018·泰州市姜堰区质检)已知圆C：(x－4)2＋(y－1)2＝4，直线l：2mx－(3m＋1)y＋2＝0.(1)求证：直线l过定点；(2)求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值；(3)已知点M(4，5)，在直线MC上(C为圆心)存在定点N(异于点M)满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数.(1)证明依题意得，m(2x－3y)＋(2－y)＝0.令2x－3y＝0且2－y＝0，得x＝3，y＝2，∴直线l过定点A(3,2).(2)解当AC⊥l时，所截得弦长最短，由题意知C(4,1)，r＝2，∴kAC＝＝－1，得kl＝＝＝1，∴由＝1，得m＝－1.(3)解由题意知，直线MC的方程为x＝4，假设存在定点N(4，t)满足题意，则设P(x，y)，＝λ，得PM2＝λ2PN2(λ>0)，且(x－4)2＝4－(y－1)2，∴4－(y－1)2＋(y－5)2＝4λ2－λ2(y－1)2＋λ2(y－t)2，整理得[(2－2t)λ2＋8]y＋(3＋t2)λ2－28＝0. 上式对任意y∈[－1，3]恒成立，∴(2－2t)λ2＋8＝0且(3＋t2)λ2－28＝0，即得t2－7t＋10＝0，∴t＝2，t＝5(舍去，与M重合)，λ2＝4，λ＝2.综上可知，在直线MC上存在定点N(4,2)，使得为常数2.4.已知圆M：2x2＋2y2－4y＝23，直线l0：x＋y＝8，l0上一点A的横坐标为a，过点A作圆M的两条切线l1，l2，切点分别为B，C，D为线段BC的中点.(1)当a＝0时，求直线l1，l2的方程；(2)当直线l1，l2互相垂直时，求a的值；(3)是否存在点A，使得BC长为？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由.2解(1)圆M：x2＋(y－1)2＝，圆心为M(0,1)，半径为，A(0,8)，设切线的方程为y＝kx＋8，圆心距d＝＝.∴k＝±，所求直线l1，l2的方程为x－5y＋40＝0或x＋5y－40＝0.(2)当l1⊥l2时，四边形MCAB为正方形，∴AM＝MB＝×＝5.A(a,8－a)，M(0,1)，则＝5，即a2－7a＋12＝0，∴a＝3或a＝4.(3)若BC＝，则BD＝，MB＝，∴MD＝，又MB2＝MD·MA，∴MA＝. 圆心M到直线l0的距离为＞，∴点A不存在.考点二直线与圆的综合方法技巧解决直线与圆的综合问题，往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化.数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用.5.已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.(1)直线l1过点P(2,0)，被圆C截得的弦长为4，求直线l1的方程；(2)直线l2的斜率为1，且l2被圆C截得的弦为AB，若以AB为直径的圆过原点，求直线l2的方程.解圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C(1，－2)，半径为3，(1) 直线l1过点P(2,0)，①当直线斜率不存在时，l1：x＝2，此时l1被圆C截得的弦长为4，∴l1：x＝2；②当直线斜率存在时，可设l1的方程为y＝k(x－2)即kx－y－2k＝0，由l1被圆C截得的弦长为4，则...
