高中数学 第四讲 用数学归纳法证明不等式阶段质量检测A卷（含解析）新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

第四讲用数学归纳法证明不等式（时间90分钟，满分120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证()A．n＝k＋1时等式成立B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立D．n＝2(k＋2)时等式成立解析：选Bk为偶数，则k＋2为偶数，故选B.2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N*)时，第一步应验证不等式()A．1＋<2－B．1＋＋<2－C．1＋<2－D．1＋＋<2－解析：选A第一步验证n＝2时不等式成立，即1＋<2－.3．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1)，在验证n＝1时，左边计算所得的项为()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3解析：选C左边为n＋2项和，n＝1时应为三项和，即1＋a＋a2.4．用数学归纳法证明“Sn＝＋＋＋…＋>1(n∈N*)”时，S1等于()A.B.＋C.＋＋D．以上答案均不正确解析：选C当n＝1时，S1＝＋＋＝＋＋>1.5．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n∈N*)”时，从“n＝k到n＝k＋1”两边同乘一个代数式，它是()A．2k＋2B．(2k＋1)(2k＋2)C.D.解析：选Dn＝k时，左边为f(k)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，n＝k＋1时，f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2)＝f(k)·(2k＋1)(2k＋2)÷(k＋1)＝f(k)·.6．平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线l后，它们的交点个数最多为()A．f(k)＋1B．f(k)＋kC．f(k)＋k＋1D．k·f(k)解析：选B第k＋1条直线与前k条直线都相交且有不同交点时，交点个数最多，此时应比原先增加k个交点．7．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N*)能被8整除时，若n＝k时，命题成立，欲证当n＝k＋1时命题成立，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为()A．56×34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)1B．34×34k＋1＋52×52kC．34k＋1＋52k＋1D．25(34k＋1＋52k＋1)解析：选A由34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋1＋25×52k＋1＋25×34k＋1－25×34k＋1＝56×34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)．8．数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于()A.B.C.D.解析：选B由a2＝S2－S1＝4a2－1，得a2＝＝；由a3＝S3－S2＝9a3－4a2，得a3＝a2＝＝；由a4＝S4－S3＝16a4－9a3，得a4＝a3＝＝，猜想an＝.9．上一个n层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有不同上法的总数为f(n)，则下列猜想正确的是()A．f(n)＝nB．f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)C．f(n)＝f(n－1)·f(n－2)D．f(n)＝解析：选D当n≥3时f(n)分两类，第一类从第n－1层再上一层，有f(n－1)种方法；第二类从第n－2层再一次上两层，有f(n－2)种方法，所以f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n≥3)．10．若不等式＋＋＋…＋<对于一切n∈N*恒成立，则自然数m的最小值为()A．8B．9C．10D．12解析：选A令bn＝＋＋＋…＋，则bk＋1－bk＝＋＋…＋＋＋－＝＋－<0.∴bk＋1＝7，∴m的最小值为8.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填写在题中的横线上)11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋4＋…＋n2＝(n∈N*)，则n＝k＋1时，左边应为在n＝k时的基础上加上____________________．解析：n＝k＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，所以增加了(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)212．设f(n)＝…，用数学归纳法证明f(n)≥3，在假设n＝k时成立后，f(k＋1)与f(k)的关系是f(k＋1)＝f(k)·________________.解析：f(k)＝…，f(k＋1)＝…·，∴f(k＋1)＝f(k)·.答案：13．设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋2，用数学归纳法证明an＝4·2n－1－2的第二步中，设n＝k时结论成立，即ak＝4·2k－1－2，那么当n＝k＋1时，应证明等式________________2成立．答案：ak＋1＝4·2(k＋1)－1－214．在数列{an}中，a1＝1，且Sn，Sn＋1,2S1成等差数列，则S2，S3，S4分别为________，猜想Sn＝________.解析：因为Sn，Sn＋1,2S1成等差数列，所以2Sn＋1＝Sn＋2S...