第一章1.21.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则A级基础巩固一、选择题1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于(D)A．1B．2C．3D．4[解析]y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4．2．曲线y＝ln(x＋2)在点P(－1,0)处的切线方程是(A)A．y＝x＋1B．y＝－x＋1C．y＝2x＋1D．y＝－2x＋1[解析] y＝ln(x＋2)，∴y′＝，∴切线斜率k＝y′|x＝－1＝1，∴切线方程为y－0＝1×(x＋1)，即y＝x＋1．3．(2018·邵阳三模)已知函数f(x)＝f′(－2)ex－x2，则f′(－2)＝(D)A．B．C．D．[解析]f′(x)＝f′(－2)ex－2x；∴f′(－2)＝f′(－2)·e－2－2·(－2)；解得f′(－2)＝．故选D．4．(2018·揭阳一模)已知f(x)＝sinx－cosx，实数α满足f′(α)＝3f(α)，则tan2α＝(A)A．－B．－C．D．[解析]f′(x)＝cosx＋sinx；∴f′(α)＝cosα＋sinα；又f′(α)＝3f(α)；∴cosα＋sinα＝3sinα－3cosα；∴2cosα＝sinα；∴tanα＝2；∴tan2α＝＝－．故选A．5．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N*)的前n项和是(A)A．B．C．D．[解析] f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，∴f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，1∴数列{}(n∈N*)的前n项和为：Sn＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝，故选A．6．(2018·邯郸高二检测)已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是(B)[解析]依题意可设f(x)＝ax2＋c(a<0，且c>0)，于是f′(x)＝2ax，显然f′(x)的图象为直线，过原点，且斜率2a<0，故选B．二、填空题7．(2018·黄山一模)已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝1．[解析]根据题意，f(x)＝x3＋3xf′(0)，则其导数f′(x)＝x2＋3f′(0)，令x＝0可得：f′(0)＝3f′(0)，解可得f′(0)＝0，则f′(x)＝x2，则有f′(1)＝1，故答案为1．8．(2018·天津文，10)已知函数f(x)＝exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为e．[解析] f(x)＝exlnx，∴f′(x)＝exlnx＋，∴f′(1)＝e．三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝x(x2＋＋)；(2)y＝(＋1)(－1)；(3)y＝sin4＋cos4；(4)y＝＋．[解析](1) y＝x＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－．(2) y＝(＋1)＝－x＋x－，∴y′＝－x－－x－＝－．(3) y＝sin4＋cos4＝2－2sin2cos2＝1－sin2＝1－·＝＋cosx，∴y′＝－sinx．(4) y＝＋＝＋＝＝－2，∴y′＝′＝＝．210．已知函数f(x)＝的图象在点M(－1，f(－1))处的切线的方程为x＋2y＋5＝0，求函数的解析式．[解析]由于(－1，f(－1))在切线上，∴－1＋2f(－1)＋5＝0，∴f(－1)＝－2． f′(x)＝，∴解得a＝2，b＝3( b＋1≠0，∴b＝－1舍去)．故f(x)＝．B级素养提升一、选择题1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)＝(C)A．e－1B．－1C．－e－1D．－e[解析] f(x)＝2xf′(e)＋lnx，∴f′(x)＝2f′(e)＋，∴f′(e)＝2f′(e)＋，解得f′(e)＝－，故选C．2．曲线y＝xsinx在点处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为(A)A．B．π2C．2π2D．(2＋π)2[解析]曲线y＝xsinx在点处的切线方程为y＝－x，所围成的三角形的顶点为O(0,0)，A(π，0)，C(π，－π)，∴三角形面积为．二、填空题3．(2018·太原高二检测)设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝．[解析]f′(x)＝－sin(x＋φ)，f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2sin．若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，即0＝2sin，∴φ＋＝kπ(k∈Z)．又 φ∈(0，π)，∴φ＝．4．(2018·南昌一模)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(lnx)＝x＋lnx，则f′(1)＝1＋．[解析]f′(lnx)＝1＋；∴f′(lne)＝1＋；即f′(1)＝1＋．故答案为1＋．三、解答题5．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．[解析] f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1．又 f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e．∴b＝0，d＝0．∴f(x)＝ax4＋cx2＋1． 函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，3∴切点...
