核心素养测评四十六基本公式、直线的斜率与直线方程(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α,且sinα+cosα=0,则a,b满足()A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【解析】选D.因为sinα+cosα=0,所以tanα=-1.又因为α为倾斜角,所以斜率k=-1.而直线ax+by+c=0的斜率k=-,所以-=-1,即a-b=0.2.已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1,1)和Q(2,2),若直线l:mx+y+1=0与线段PQ有交点,则实数m的取值范围是()A.B.(-∞,-2]∪C.D.∪[2,+∞)【解析】选D.l:mx+y+1=0可写成y=-mx-1,即l过定点R(0,-1),直线PR的斜率k1==-2,直线QR的斜率k2==.因为直线l与线段PQ有交点,所以斜率k≥或k≤-2.又因为k=-m,所以m≤-或m≥2.3.过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线方程为()A.3x+4y+15=0B.3x+4y+6=0C.3x+y+6=0D.3x-4y+10=0【解析】选A.设所求直线的斜率为k,依题意k=-,又直线经过点A(-1,-3),因此所求直线方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.4.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是()A.-11或k1或k或k<-1【解析】选D.设直线的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-1),令y=0,得直线l在x轴上的截距为1-,则-3<1-<3,解得k>或k<-1.5.如果AC<0,且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不通过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.由题意知,A,B同号,所以直线Ax+By+C=0的斜率k=-<0,在y轴上的截距为->0,所以,直线不通过第三象限.6.(多选)(2020·青岛模拟)若直线过点A(1,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等,则直线l的方程可能为()A.x-y+1=0B.x+y-3=0C.2x-y=0D.x-y-1=0【解析】选ABC.当直线经过原点时,斜率为k==2,所求的直线方程为y=2x,即2x-y=0;当直线不过原点时,设所求的直线方程为x±y=k,把点A(1,2)代入可得1-2=k,或1+2=k,求得k=-1,或k=3,故所求的直线方程为x-y+1=0,或x+y-3=0;综上知,所求的直线方程为2x-y=0,x-y+1=0或x+y-3=0.7.直线l经过点A(-2,1),B(-1,m2)(m∈R)两点,那么直线l的倾斜角的取值范围为()A.∪B.∪C.D.【解析】选B.设直线的倾斜角为α,则tanα==-1+m2≥-1,又因为0≤α<π,所以0≤α<或≤α<π.二、填空题(每小题5分,共15分)8.将直线y=x+-1绕它上面一点(1,)沿逆时针方向旋转15°,所得到的直线方程是________.【解析】由y=x+-1得直线的斜率为1,倾斜角为45°.因为沿逆时针方向旋转15°,角变为60°,所以所求直线的斜率为.又因为直线过点(1,),所以直线方程为y-=(x-1),即y=x.答案:y=x9.(2020·金华模拟)若直线l的方程为:x+y-3=0,则其倾斜角为________,直线l在y轴上的截距为________.【解析】直线l的方程为:x+y-3=0,设其倾斜角为θ,θ∈[0,π).则tanθ=-,解得θ=.令x=0,解得y=.所以直线l在y轴上的截距为.答案:10.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,4),AC=BC,则△ABC的欧拉线方程为__________________.【解析】由题意,线段AB的中点为M(1,2),kAB=-2,所以线段AB的垂直平分线为y-2=(x-1),即x-2y+3=0,因为AC=BC,所以△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上,因此△ABC的欧拉线方程为x-2y+3=0.答案:x-2y+3=0(15分钟35分)1.(5分)设直线l的方程为x+ycosθ+3=0(θ∈R),则直线l的倾斜角α的取值范围是()A.[0,π)B.C.D.∪【解析】选C.当cosθ=0时,方程变为x+3=0,其倾斜角为;当cosθ≠0时,由直线l的方程,可得斜率k=-.因为cosθ∈[-1,1]且cosθ≠0,所以k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),即tanα∈(-∞,-1]∪[1,+∞),又α∈[0,π),所以α∈∪,综上知,直线l的倾斜角α的取值范围是.2.(5分)(2020·西安模拟)已知直线x+a2y-a=0(a是正常数),当此直线在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是()A.0B.2C.D.1【解析】选D.直线x+a2y-a=0(a是正常数)在x轴,y轴上的截距分别为a和,此直线在x轴,y轴上的截距和为a+≥2,当且仅当a=1时,等号成立.故当直线x+a2y-a=0在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是1.3.(5分)已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),当x<0时,f(x)>1,方程y=ax+表示的直线是()【解析】选C.因为f(x)=ax,且x<0时,f(x)>1,...
