高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的简单几何性质（第1课时）椭圆的简单几何性质练习（含解析）新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP免费

第1课时椭圆的简单几何性质[A基础达标]1．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9)的()A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析：选D．两方程都表示椭圆，由方程，可知c2都为16，所以焦距2c相等．2．焦点在x轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是()A．＋＝1B．＋y2＝1C．＋＝1D．x2＋＝1解析：选A．依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝＝，故所求椭圆的标准方程是＋＝1.3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为()A．B．C．D．解析：选A．依题意，△BF1F2是正三角形，因为在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，所以cos60°＝＝，即椭圆的离心率e＝，故选A．4．已知焦点在x轴上的椭圆：＋y2＝1，过焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝1，则该椭圆的离心率为()A．B．C．D．解析：选A．椭圆的焦点坐标为(±，0)，不妨设A，可得＋＝1，解得a＝2，椭圆的离心率为e＝＝.故选A．5．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2＝60°，则椭圆离心率e的取值范围是()A．B．C．D．解析：选C．在△PF1F2中，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a，根据余弦定理，得(2c)2＝m2＋n2－2mncos60°，配方得(m＋n)2－3mn＝4c2，所以3mn＝4a2－4c2，所以4a2－4c2＝3mn≤3·＝3a2，即a2≤4c2，故e2＝≥，解得≤e＜1.故选C．6．若椭圆＋＝1的离心率为，则实数m＝________．解析：若焦点在x轴上，则02，所以a2＝m，b2＝2，所以c2＝m－2.因为e＝，所以＝，所以＝，所以m＝.答案：或7．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C的标准方程为________．1解析：由题意知a＋c＝3，a－c＝1，解得a＝2，c＝1，则b2＝3.又焦点在x轴上，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.答案：＋＝18．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过P(－5，4)，则椭圆的方程为____________．解析：因为e＝＝，所以＝＝，所以5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2.设椭圆的标准方程为＋＝1(a>0)，因为椭圆过点P(－5，4)，所以＋＝1.解得a2＝45.所以椭圆方程为＋＝1.答案：＋＝19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程．解：设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由e＝知＝，故＝，从而＝，＝.由△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，得a＝4，所以b2＝8.故椭圆C的标准方程为＋＝1.10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点是A(a，0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围．解：设P(x，y)，由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是＋y2＝.所以y2＝ax－x2.①又P点在椭圆上，故＋＝1.②把①代入②化简，得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，即(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，因为x≠a，x≠0，所以x＝，又0.又因为0b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A．B．C．D．解析：选A．以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，该圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，所以＝a，即2b＝，所以a2＝3b2，因为a2＝b2＋c2，所以＝，所以e＝＝.12．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的三个顶点B1(0，－b)，B2(0，b)，A(a，0)和焦点F(c，0)，且B1F⊥AB2，则椭圆的离心率为____________．解析：直线B1F的斜率为kB1F＝，直线AB2的斜率为kAB2＝－.因为B1F⊥AB2，所以kB1F·kAB2＝－1，即－＝－1，所以＝1，所以－＝1，即－e＝1，所以e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝.因为0