2．3.1双曲线及其标准方程1．双曲线的定义．把平面内与两个定点F1，F2的距离的__________等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这________叫做双曲线的焦点，________________叫做双曲线的焦距．想一想：(1)双曲线的定义中，常数为什么要小于|F1F2|?(2)平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹是不是双曲线？2．双曲线的标准方程．焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程________(a>0，b>0)________(a>0，b>0)焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝________想一想：如何判断方程－＝1(a>0，b>0)和－＝1(a>0，b>0)所表示的双曲线的焦点的位置？基础梳理1．差的绝对值两个定点两焦点间的距离想一想：解析：(1)①如果定义中常数改为等于|F1F2|，此时动点的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线(包括端点)．②如果定义中常数为0，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．③如果定义中常数改为大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在．(2)不是，是双曲线的某一支．在双曲线的定义中，P为动点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则①|PF1|－|PF2|＝2a，曲线只表示双曲线的右支．②|PF1|－|PF2|＝－2a，曲线只表示双曲线的左支．2.－＝1－＝1a2＋b2想一想：解析：在x2，y2的系数异号的前提下，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上，如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．对于双曲线，a不一定大于b，因此，不能像椭圆那样用比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．1．点F1，F2是两个定点，动点P满足＝2a(a为非负常数)，则动点P的轨迹是()A．两条射线B．一条直线C．双曲线D．前三种情况都有可能2．已知A(－3，0)，B(3，0)若动点M满足||MA|－|MB||＝4，则M的轨迹方程是()1A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝13．若方程＋＝3表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是()A．1＜m＜2B．m＞2C．m＜－2D．－2＜m＜2自测自评1．D2．解析：根据双曲线的定义知，动点M的轨迹是双曲线，焦点在x轴上，a＝2，c＝3，所以b2＝5.所以轨迹方程为－＝1.故选A.答案：A3．解析：由得m＜－2.答案：C1．若动点P到F1(－5，0)与P到F2(5，0)的距离的差为±8，则P点的轨迹方程是()A.＋＝1B.－＝1C.＋＝1D.－＝11．解析：由双曲线定义知：2a＝8，∴a＝4，c＝5，∴b＝3.答案：D2．已知F1(－5，0)，F2(5，0)为定点，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a＝3和a＝5时，P点的轨迹分别为()A．双曲线和一条直线B．双曲线的一支和一条直线C．双曲线和一条射线D．双曲线的一支和一条射线2．解析： |F1F2|＝10，|PF1|－|PF2|＝2a，∴当a＝3时，2a＝6＜|F1F2|，为双曲线的一支；当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，为一条射线．答案：D3．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是()A．2B．1C.D．33．解析： 双曲线的标准方程为－＝1，∴a>0，焦点在x轴上，∴a＋2＝4－a2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1，a＝－2(舍去)．∴a＝1.答案：B4．若曲线＋＝1表示双曲线，则k的取值范围是____________．4．解析：只要k(k－1)＜0即可．答案：(0，1)5．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0，2)，则双曲线的方程是()A.－y2＝1B．x2－＝1C.－＝1D.－＝15．解析：由题意知双曲线的焦点在x轴，且另一焦点为F2(，0)，又由中点坐标公式求得P点坐标为(，4)，则|PF1|＝6，|PF2|＝4.2∴|PF1|－|PF2|＝2a＝6－4＝2＜2.答案：B6．若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是()A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在y轴上的双曲线D．焦点在x轴上的双曲线6．解析：将已知方程化为标准形式，根据项的系数符号进行判断．原方程可化为－＝1. k>1，∴k2－1>0，1＋k>0.∴已知方程表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线．答案：C7．F1、F2是双曲线－＝1的两个焦点，M是双曲线上一点，且|MF1|·|MF2|＝32，则△F1MF2的面积为________．7．解析：由题意可得双曲线的两个焦点是F1(0，－5)、F2(0，5)，由双曲线定义得，||MF1|－|MF2||＝6，联立|MF1|·|MF2|＝32，得|MF1|2＋|MF2|2＝100＝|F1F2|2，所以△F1MF2是直角三角形，从而其面积为S＝|MF1|·|M...
