2.2.2反证法一、选择题1.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是()A.有两个内角是直角B.有三个内角是直角C.至少有两个内角是直角D.没有一个内角是直角[答案]C[解析]“最多只有一个”的含义是“有且仅有一个或者没有”,因此它的反面应是“至少有两个”.2.实数a、b、c不全为0等价于()A.a、b、c均不为0B.a、b、c中至多有一个为0C.a、b、c中至少有一个为0D.a、b、c中至少有一个不为0[答案]D[解析]“不全为0”的含义是至少有一个不为0,其否定应为“全为0”.[点评]要与“a、b、c全不为0”加以区别,“a、b、c全不为0”是指a、b、c中没有一个为0,其否定应为“a、b、c中至少有一个为0”.3.如果两个数之和为正数,则这两个数()A.一个是正数,一个是负数B.都是正数C.不可能有负数D.至少有一个是正数[答案]D[解析]两个数的和为正数,可以是一正一负,也可以是一正一为0,还可以是两正,但不可能是两负.4.若a、b、c∈R,且ab+bc+ca=1,则下列不等式成立的是()A.a2+b2+c2≥2B.(a+b+c)2≥3C.++≥2D.abc(a+b+c)≤[答案]B[解析] a、b、c∈R,∴a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac=1又(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=a2+b2+c2+2≥3.5.用反证法证明命题:三角形三个内角至少有一个不大于60°时,应假设()A.三个内角都不大于60°B.三个内角都大于60°C.三个内角至多有一个大于60°D.三个内角至多有两个大于60°[答案]B[解析]三个内角至少有一个不大于60°,即有一个、两个或三个不大于60°,其反设为都大于60°,故B正确.6.若a>b>0,则下列不等式中总成立的是()A.a+>b+B.>C.a+>b+D.>[答案]A[解析]可通过举反例说明B、C、D均是错误的,或直接论证A选项正确.二、填空题7.“x=0且y=0”的否定形式为________.[答案]x≠0或y≠0[解析]“p且q”的否定形式为“¬p或¬q”.8.和两条异面直线AB、CD都相交的两条直线AC、BD的位置关系是________.[答案]异面[解析]假设AC与BD共面于平面α,则A、C、B、D都在平面α内,∴AB⊂α,CD⊂α,这与AB、CD异面相矛盾,故AC与BD异面.9.在空间中有下列命题:①空间四点中有三点共线,则这四点必共面;②空间四点,其中任何三点不共线,则这四点不共面;③垂直于同一直线的两直线平行;④两组对边分别相等的四边形是平行四边形.其中真命题是________.[答案]①[解析]四点中若有三点共线,则这条直线与另外一点必在同一平面内,故①真;四点中任何三点不共线,这四点也可以共面,如正方形的四个顶点,故②假;正方体交于同一顶点的三条棱所在直线中,一条与另两条都垂直,故③假;空间四边形ABCD中,可以有AB=CD,AD=BC,例如将平行四边形ABCD沿对角线BD折起构成空间四边形,这时它的两组对边仍保持相等,故④假.三、解答题10.若函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断开,f(a)<0,f(b)>0,且f(x)在[a,b]上单调递增,求证:f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.[分析]先由函数零点存在性判定定理判定函数在(a,b)内有零点,再用反证法证明零点唯一.[解析]由于f(x)在[a,b]上的图象连续不断开,且f(a)<0,f(b)>0,即f(a)·f(b)<0,所以f(x)在(a,b)内至少存在一个零点,设零点为m,则f(m)=0,假设f(x)在(a,b)内还存在另一个零点n,即f(n)=0,则n≠m.若n>m,则f(n)>f(m),即0>0,矛盾;若n2,求证:x,y中至少有一个大于1[答案]C[解析]A中命题条件较少,不易正面证明;B中命题是否定性命题,其反设是显而易见的定理;D中命题是至少性命题,其结论包含两种情况,而反设只有一种情况,适合用反证法证明.2.设a、b、c∈R+,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是P、Q、R同时大于零的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必...