第二章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知椭圆x225+y216=1上一点P到椭圆一个焦点的距离是3,则点P到另一个焦点的距离为()A.2B.3C.5D.7解析:设点P到另一个焦点的距离为d,由椭圆定义可知P到两焦点的距离之和3+d=2a=10,则d=10-3=7.答案:D2已知抛物线C1:y=2x2的图象与抛物线C2的图象关于直线y=-x对称,则抛物线C2的准线方程是()A.x=−18B.x=12C.x¿18D.x=−12解析:抛物线C1:y=2x2关于y=-x对称的抛物线C2的解析式为-x=2(-y)2,即y2=−12x,故C2的准线方程为x¿18.答案:C3已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于32,则双曲线C的方程是()A.x24−y2√5=1B.x24−y25=1C.x22−y25=1D.x22−y2√5=1解析:由曲线C的右焦点为F(3,0),知c=3.1由离心率e¿32,知ca=32,则a=2,故b2=c2-a2=9-4=5,因此,双曲线C的方程为x24−y25=1.答案:B4已知动点P到两个定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离之和为2√3λ¿≥1),则点P轨迹的离心率的取值范围为()A.[√33,1)B.(√33,√32]C.(0,√33]D.(√32,1)解析:由题意,得2√3λ>¿F1F2∨¿2,故点P的轨迹是椭圆,其中a¿√3λ,c=1.于是e¿1√3λ≤1√3.故选C.答案:C5已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()A.1−√32B.2−√3C.√3-12D.√3−1解析:不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|+|PF2|=2a. ∠F2PF1=90°,∠PF2F1=60°,∴√3c+c=2a,即(√3+1)c=2a.∴e¿ca=2√3+1=2(√3-1)(√3-1)(√3+1)=√3−1.2答案:D6抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2−y23=1的渐近线的距离是()A.12B.√32C.1D.√3解析:由题意可得,抛物线的焦点为(1,0),双曲线的渐近线方程为y=±√3x,即±√3x−y=0,故由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d¿|±√3-0|2=√32.答案:B7AB为过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的中心的弦,F1为一个焦点,则△ABF1的最大面积是(c为半焦距)()A.acB.abC.bcD.b2解析:△ABF1的面积为c·|yA|,因此当|yA|最大,即|yA|=b时,面积最大.答案:C8如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,准线与对称轴交于点M,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为()A.y2¿32xB.y2=3xC.y2¿92xD.y2=9x解析:由抛物线的定义,知|BF|等于点B到准线的距离,由|BC|=2|BF|,得∠BCM=30°.又|AF|=3,从而A(p2+32,3√32),A在抛物线上,代入抛物线方程y2=2px,解得p¿32.3故抛物线方程为y2=3x.答案:B9若椭圆x2a2+y2b2=1的焦点在x轴上,过点(2,1)作圆x2+y2=4的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程为()A.x212+y28=1B.x216+y212=1C.x25+y24=1D.x220+y216=1解析:设切点坐标为(m,n),则n-1m-2·nm=−1,即m2+n2-n-2m=0,因为m2+n2=4,所以2m+n-4=0,即直线AB的方程为2x+y-4=0,由于直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,因此2c-4=0,b-4=0,解得c=2,b=4,所以a2=b2+c2=20,故椭圆方程为x220+y216=1.答案:D10若F1,F2分别为椭圆x22+y2=1的左、右焦点,点P(x,y)是直线x+y−2=0¿≠2,x≠±1)上的动点,直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,则1k1−3k2的值为()A.2B.32C.−√2D.随点P的位置而变化解析:由已知得F1(-1,0),F2(1,0),则有k1¿yx+1,k2=yx-1,因此1k1−3k2=x+1y−3x-3y=-2x+4y,4又因为P(x,y)在直线x+y-2=0上,所以1k1−3k2=-2x+4-x+2=2.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11双曲线x2256−y2144=1的两条渐近线的方程为¿解析:由题意可知所求双曲线的渐近线方程为y=±34x.答案:y=±34x12过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p=.解析:抛物线的焦点为F(p2,0),设直线方程为y=x−p2.由{y2=2px,y=x-p2,得x2-3px+p24=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p.故|AB|=x1+x2+p=3p+p=8,即p=2.答案:213在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-3,0)和C(3,0),顶点B在椭圆x225+y216=1上,则sinA+sinCsinB=¿¿答案:5314已知抛物线y2=2px(p>0)焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=4|OF|,△MFO的面积...
