第10课时复数的加法和减法(限时：10分钟)1．若(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝3－5i，a，b∈R，则a＋b＝()A.B．－C．－D．5解析：(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝(－3a－2b)＋(b－a)i＝3－5i，所以解得a＝，b＝－，故有a＋b＝－.答案：B2．若|z|＋z＝3＋i，则z＝()A．1－iB．1＋iC.＋iD．－＋i解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z|＋z＝3＋i得＋x＋yi＝3＋i，即解得所以z＝＋i.答案：C3．若复数z满足|z－i|＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为__________．解析：由条件知|z－i|＝3，所以点Z的轨迹是以点(0,1)为圆心，以3为半径的圆，故其面积为S＝9π.答案：9π4．已知复数z1＝2＋3i，z2＝a－2＋i，若|z1－z2|＜|z1|，则实数a的取值范围是__________．解析：由条件知z1－z2＝(4－a)＋2i.又因为|z1－z2|＜|z1|，即＜，解得1＜a＜7.答案：1＜a＜75．已知z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，求|z＋i|的最小值．解析：|z＋1|＝|z－i|表示以(－1,0)，(0,1)为端点的线段的垂直平分线，而|z＋i|＝|z－(－i)|表示直线上的点到(0，－1)的距离，数形结合知其最小值为.1(限时：30分钟)1．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为()A．3B．2C．1D．－1解析：z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0.∴a＝－1.答案：D2．已知z1＝3－4i，z2＝－5＋2i，z1，z2对应的点分别为P1，P2，则P2P1对应的复数为()A．－8＋6iB．8－6iC．8＋6iD．－2－2i解析：由复数减法的几何意义，知P2P1对应的复数为z1－z2＝(3－4i)－(－5＋2i)＝(3＋5)＋(－4－2)i＝8－6i，故选B.答案：B3．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z等于()A．－3B．3C．－3iD．3i解析：设z＝x＋yi，x，y∈R，则z＋3i＝x＋(y＋3)i.因为z＋3i是纯虚数，所以又因为|z|＝＝3，解得x＝0，y＝3，即z＝3i.答案：D4．设复数z满足|z－3－4i|＝1，则|z|的最大值是()A．3B．4C．5D．6解析：因为|z－3－4i|＝1，所以复数z所对应点在以C(3,4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z|的最大值是＋1＝6.答案：D5．设复数z满足|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|，则复数z在复平面上对应点的轨迹是()A．圆B．半圆C．直线D．射线解析：设z＝x＋yi，x，y∈R，由|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|得＝，化简可得3x－4y＝0，所以复数z在复平面上对应点的轨迹是一条直线．答案：C6．已知复数z1＝－2mi，z2＝－m＋m2i，若z1＋z2＞0，则实数m＝__________.解析：z1＋z2＝(－2mi)＋(－m＋m2i)＝(－m)＋(m2－2m)i.因为z1＋z2＞0，所以z1＋z2为实数且大于0，所以解得m＝2.答案：27．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4，则a＋b＝__________.2解析：z1－z2＝－[－3b＋(b＋2)i]＝＋(a－b－1)i＝4，由复数相等的充要条件，得解得故a＋b＝3.答案：38．设实数x，y，θ满足以下关系：x＋yi＝3＋5cosθ＋i(－4＋5sinθ)，则x2＋y2的最大值是__________．解析：∵x＋yi＝(3＋5cosθ)＋i(－4＋5sinθ)，∴x2＋y2＝(3＋5cosθ)2＋(－4＋5sinθ)2＝50＋30cosθ－40sinθ＝50＋50cos(θ＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.∴(x2＋y2)max＝50＋50＝100.答案：1009．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，求|z－2－2i|的最小值．解析：设z＝x＋yi，x，y∈R，由|z＋2－2i|＝1，得|z－(－2＋2i)|＝1，表示以(－2,2)为圆心，1为半径的圆，如图所示，则|z－2－2i|＝表示圆上的点与定点(2,2)的距离，由数形结合得|z－2－2i|的最小值为3.10．已知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ，且z1－z2＝＋i，求cos(α＋β)的值．解析：因为z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ，所以z1－z2＝(cosα－cosβ)＋(sinα＋sinβ)i＝＋i，所以两式平方相加得(cosα－cosβ)2＋(sinα＋sinβ)2＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)＝2－2cos(α＋β)＝2＋2＝1，即2－2cos(α＋β)＝1，所以cos(α＋β)＝.11．在△ABC中，角A，B，C所对的边的长度分别为a，b，c，设复数z＝cosA＋isinA，且满足|z＋1|＝1.(1)求复数z；(2)求的值．解析：(1)∵z＝cosA＋isinA，∴z＋1＝1＋cosA＋isinA.∴|z＋1|＝＝.∵|z＋1|＝1.∴2＋2cosA＝1.∴cosA＝－.∴A＝120°.∴sinA＝.∴复数z＝－＋i.(2)由正弦定理，得a＝2R·sinA，b＝2R·sinB，c＝2R·sinC(其中R为△ABC外接圆的半径)，∴原式＝.∵B＝180°－A－C＝60°－C，∴原式＝＝＝＝＝2，即的值为2.3
