第一节椭圆的概念及其性质课时作业练1.设P是椭圆x225+y216=1上的点,若F1、F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于.答案102.椭圆x216+y24=1的离心率为.答案√323.已知椭圆的中心在原点,焦点在y轴上,若其离心率为12,焦距为8,则该椭圆的方程是.答案y264+x248=1解析设椭圆的方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0), 2c=8,∴c=4. e=ca=4a=12,∴a=8.又 b2=a2-c2=48,∴椭圆的方程为y264+x248=1.4.(2019江苏南京模拟)若椭圆x2m-2+y210-m=1的长轴在x轴上,焦距为4,则实数m的值为.答案8解析由题意可得m-2>10-m>0,解得6√5)的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A、B,△FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是.答案23解析设椭圆的右焦点为F1,则△FAB的周长=|AF|+|BF|+|AB|=2a-|AF1|+2a-|BF1|+|AB|=4a-(|AF1|+|BF1|)+|AB|. |AF1|+|BF1|≥|AB|,∴△FAB的周长≤4a,故△FAB的周长的最大值是4a,即4a=12,a=3,∴c2=a2-b2=9-5=4,∴e=ca=23.8.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是.2答案√63解析由已知条件易得B(-√32a,b2),C(√32a,b2),F(c,0),∴⃗BF=(c+√32a,-b2),⃗CF=(c-√32a,-b2),由∠BFC=90°,可得⃗BF·⃗CF=0,所以(c-√32a)(c+√32a)+(-b2)2=0,c2-34a2+14b2=0,即4c2-3a2+(a2-c2)=0,即3c2=2a2,所以c2a2=23,则e=ca=√63.9.已知焦点在x轴的椭圆过点P,其中M、N为两个焦点,且△PMN的面积为1,tan∠PMN=12,tan∠MNP=-2,求该椭圆方程.解析设所求的椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则MN=2c,不妨设M(-c,0),N(c,0),P(xP,yP),则由tan∠PMN=12,得yPxP+c=12,3由tan∠MNP=-2,得tan(π-∠MNP)=2,即yPxP-c=2,联立两式解得xP=53c,yP=43c.又S△MNP=c×|yP|=1,即43c2=1,c=√32,即P(5√36,2√33),将P点坐标代入椭圆方程,再由c2=a2-b2解得a2=154,b2=3,故所求的椭圆方程为4x215+y23=1.10.(2019淮海中学高三模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,两条准线之间的距离为4√2.(1)求椭圆的标准方程;(2)已知椭圆的左顶点为A,点M在圆x2+y2=89上,直线AM与椭圆的另一交点为B,且△AOB的面积是△AOM面积的2倍,求直线AB的方程.解析(1)设椭圆的焦距为2c,由题意得,ca=√22,2a2c=4√2,解得a=2,c=√2,所以b=√2,所以椭圆的标准方程为x24+y22=1.(2)因为S△AOB=2S△AOM,所以AB=2AM,所以点M为AB的中点,由(1)知椭圆的方程为x24+y22=1,所以A(-2,0).设M(x0,y0),则B(2x0+2,2y0),由题意得x02+y02=89①,(2x0+2)24+(2y0)22=1②,4由①②得9x02-18x0-16=0,解得x0=-23或x0=83(舍去).把x0=-23代入①,得y0=±23,所以kAB=±12,因此,直线AB的方程为y=±12(x+2),即x+2y+2=0或x-2y+2=0.11.已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O,离心率等于√32,以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4√5.直线l:y=kx+m与y轴交于点P,与椭圆E相交于A、B两点.(1)求椭圆E的方程;(2)若⃗AP=3⃗PB,求m2的取值范围.解析(1)根据已知设椭圆E的方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0),由已知得ca=√32,∴c=√32a,b2=a2-c2=a24. 以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4√5,∴4√a2+b2=2√5a=4√5,∴a=2,∴b=1.∴椭圆E的方程为y24+x2=1.(2)根据已知得P(0,m),设A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),由{y=kx+m,4x2+y2-4=0得,(k2+4)x2+2mkx+m2-4...
