第36课平面向量的数量积一、填空题1.已知平面向量a与b的夹角为60°,且a=(2,0),|b|=1,那么|a+b|=.2.(2014·苏州调研)设x∈R,向量a=(x,1),b=(3,-2),且a⊥b,则x=.3.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,a,b之间的夹角为60°,那么a·(a+b)=.4.若|a|=1,|b|=2,且a⊥(a-b),则向量a,b的夹角大小为.5.(2014·北京卷)已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),那么|λ|=.6.(2014·山东卷)在△ABC中,已知AB�·AC�=tanA,当A=6时,△ABC的面积为.7.(2014·天津卷改编)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若AE�·AF�=1,CE�·CF�=-23,则λ+μ=.8.(2014·南京、盐城二模)在△ABC中,点D在边BC上,且DC=2BD,AB∶AD∶AC=3∶k∶1,则实数k的取值范围为.(第8题)二、解答题9.设向量a与b的夹角为120°,且|a|=4,|b|=2.(1)求|a+b|;(2)求|3a-4b|;(3)求(a-2b)·(a+b).10.已知向量a=(1,0),b=(1,1).(1)求与向量2a+b同向的单位向量;1(2)求向量b-3a与向量a夹角的余弦值.11.(2014·苏中三市、宿迁一调)在△ABC中,已知AB�·AC�=9,AB�·BC�=-16.(1)求AB的值;(2)求(-)sinABsinC的值.2第36课平面向量的数量积1.7解析:设向量a与b的夹角为θ,易得|a|=2,所以a·b=|a|·|b|cosθ=2×1×12=1,所以|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=4+1+2=7,所以|a+b|=7.2.23解析:由a⊥b,得3x-2=0,所以x=23.3.52解析:a·(a+b)=a2+a·b=1+|a||b|cos60°=1+1×3×12=52.4.45°解析:因为a⊥(a-b),所以a·(a-b)=0,即|a|2-a·b=0,即a·b=|a|2,设向量a与b的夹角为θ,则cosθ=·||||abab=2||||||aab=22,所以θ=45°.5.5解析:因为λa+b=0,所以λa=-b,所以|λ|=||||ba=51=5.6.16解析:因为AB�·AC�=|AB�||AC�|cosA=tanA,且A=6,所以|AB�||AC�|=23,所以△ABC的面积S=12|AB�|·|AC�|sinA=12×23×sin6=16.7.56解析:由题意得CE�·CF�=(1-λ)(1-μ)CB�·CD�=-2(1-λ)·(1-μ)=-23,所以1-(λ+μ)+λμ=13①,又AE�·AF�=(AB�+BE�)·(AD�+DF�)=(AB�+λBC�)·(AD�+μDC�)=AB�·AD�+μAB�·DC�+λBC�·AD�+λμCB�·DC�=-2+4μ+4λ-2λμ=1②.联立①②,消去λμ,得λ+μ=56.8.57,33解析:因为DC=2BD,所以DC�=2BD�,即AC�-AD�=2(AD�-AB�),所以AD�=23AB�+13AC�,又AB∶AD∶AC=3∶k∶1,可设AB=3a,AD=ka,AC=a,所以2||AD�=49×9a2+49AB�·AC�+193×a2=k2a2,即k2=379+43cosA∈2549,99,所以k∈57,33.9.a·b=|a||b|cos120°=4×2×1-2=-4.(1)因为|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=12,所以|a+b|=23.(2)因为|3a-4b|2=9|a|2-24a·b+16|b|2=16×19,所以|3a-4b|=419.(3)(a-2b)·(a+b)=|a|2-2a·b+a·b-2|b|2=12.10.(1)由a=(1,0),b=(1,1),得2a+b=(3,1).设与2a+b同向的单位向量为c=(x,y),则221,3-0,xyyx且x,y>0,解得310,1010.10xy所以c=31010,1010,即与2a+b同向的单位向量为31010,1010.(2)由a=(1,0),b=(1,1),得b-3a=(-2,1).设向量b-3a与向量a的夹角为θ,则cosθ=(-3)-3baabaa=(-2,1)(1,0)51=-255.11.(1)方法一:因为AB�·AC�=9,AB�·BC�=-16,所以AB�·AC�-AB�·BC�=9+16=25,即AB�·(AC�+CB�)=25,亦即|AB�|2=25,故AB=5.方法二:设A,B,C的对边分别为a,b,c.则由条件得bccosA=9,accosB=16.两式相加得c(bcosA+acosB)=9+16=25,即c2=25,故AB=c=5.4方法三:设A,B,C的对边分别为a,b,c.则由条件得bccosA=9,accosB=16.由余弦定理得12(b2+c2-a2)=9,12(c2+a2-b2)=16.两式相加得c2=25,故AB=c=5.(2)因为(-)sinABsinC=-AsinAcosBcossinBsinC,由正弦定理得(-)sinABsinC=-acosBbcosAc=2-accosBbccosAc=725.5
