高考数学总复习教程第15讲 平面向量及其运算VIP专享VIP免费

高考数学总复习教程第15讲平面向量及其运算一、本讲进度：向量的概念、向量的表示、向量的相等、向量的加、减的坐标运算和几何运算，共线向量平面向量基本定理。二、学习内容向量有两要素：方向及大小（亦即摸长），特别地规定模长为零的向量为零向量，它的方向不定，与任何向量共线，向量可以用字母表示（AB、、等）。可用坐标（x,y）表示，也可用有向线段表示。值得指出的是，向量不同于有向线段。有向线段有大小，有方向，有起点，面向量有大小、有方向，但与起点无关。例如；若O(0,0),A(1,1)B(1,0)C(2,1)OA与BC是两个不同的有向线段，可以通过平移使它们重合，但它们却是同一个向量，从这个意义上说，向量谈不上平移，也无须平移。任意两个不共线的向量都可构成基底，对平面内的任一向量，都可用这一对基底哆一点表示，当这一对基底是互相垂直的单位向量时，就是所谓的“坐标表示”，当向量用以原点为始点的有向线段表示时，终点的坐标与这向量的坐标是一致的。两向量的和、差、数平的坐标运算法则及几何意义要深刻了解。向量与非量向量共线的充要条件是=入（入），A、B、C三是共线的充要条件是OC=nOA+nOB且m+n=1（O为平方内任意一点）。三、典型例题讲评例1．非零向量与不共线，若AB=2+3,BC=6+23,CD=4-8，则A、B、D三点共线要证A、B、D三点共线，只要看，是否存在实数入，使AB=入BD，故应先求BD。（BD=BC+CD）也可先求CA=-(AB+BC)=-8-26CB=6-23设-8-26=m(-6-23)+n(4-8)求得m=、n=。 m+n=1∴A、B、D共线例2．用向量的方法证明：三角形三中线交于一点，且此点与各顶点的距离等于相应中线长的。向量知识是新内容，有些同学还不习惯，拿到题后觉得无从下手，这正是本讲内容的难点所在。设中线AD与BE交于G，AG=AD则AG=（AB+AC）/2=AB+AC又AE=AC∴AG=AB+AE由E、G、B共线，知+=1，=同理可证BG=BE等，故三中线共点，且交点列三顶点距离是相应中线的。例3．已知三点：A(2,1),B(3,4)，C(1,4)，P为平面内一点是PA+PB+PC=O求P点坐标。设P（x,y）写出PA，PB，PC的坐标表示，再依据向量相等的条件，列方程组解出即可。例4．在四边形ABCD中，E，F分别为对角线AC、BD的中点，记AB=，BC=，CD=。求EF（用、、表示）用心爱心专心123号编辑1向量的加法遵循平行四边形法则，故若AD为△ABC的中线，则AD=（AB+BC），本题中有两个中点，设法把它们逐次化为中线问题，即可解得。我们也可连结CF并延长一倍到G， BD、CG互相平分，BCDG为平行四边形，BG=CD=，在△AGC中，EF为中位线，∴EF=AG+（AB+BG）=（+）例5．把抛物线y=-x2按向量平移后与抛物线y=x2-x-2的两个交点关于坐标原点对称，求。设出=(m,n)写出平移后的抛物线方程与抛物线y=x2-x-2联点，利用“关于原点对称”，解出m,n但求出后，必须验明此时两面曲线相交（即相应二次方程二判别式＞0）例6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，设BA=,BC=，试以，为基底表示BF、DF、CD寻找需表示的向量与基底间直接或间接的关系，熟悉向量的和、差、数积的几何意义，是解这一类题所要求的素养。例7．已知向量=（x,y）与向量=(y,zy-x)的对应关系记作=f()（1）求证：对于任意向量、及常数m,n恒有f(m+n)=mf()+nf()（2）若=(1,1),=(1,0)用坐标表示f()和f()（3）求使f()=(p、q)(p、q为常数)的向量的坐标。本题出现了“向量函数”=f()，这是我们所陌生的，故做题之前，先克服因陌生而产生的情意，弄清f()的含义，定义f()时使用了向量的坐标，故应先把、用坐标表示出来，按定义代入，看左、右所得向量的坐标表示是否相同。（因=(x1·y1),=（x2·y2）则=做了第一小题后，（2）（3）两小题就显得很简单了例8．已知点O（0,0）A(1,2)B（4，5）OP=OA+tAB（tR）(1)要使P点在x轴、y轴、第二象限t分别应取什么值？(2)四边形OABP是否有可能是平行四边形？如可能，求出相应的t的值，如不可能说明理由。设p(x,y) OA+tAB=OA+t（OB-OA）=（1-t）OA+tOB=（1-t+4t，2（1-t）+5t）=（1+3t，2+3t），可知再要据题中要求，求出相应t值即可。在第（2）小题中，OABP为平行四边形OB=OA+OP，列出方程组，有解，则t已求出，无解，则证明不可能。例9．已知正方形ABCD过B作直线BE∥AC，E...