高中数学 第2章 推理与证明 2-1-1 合情推理——归纳推理练习 新人教A版选修1-2-新人教A版高二选修1-2数学试题VIP专享VIP免费

2-1-1合情推理——归纳推理基础要求1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于()A．28B．32C．33D．27解析：∵5＝2＋3×1,11＝5＋3×2,20＝11＋3×3.∴x＝20＋3×4＝32.答案：B2．数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，通过计算a2、a3、a4后，猜想an的表达式是()A.B.C.D.解析：a2＝，a3＝，a4＝，…∴an＝＝，也可以由a2＝代入检验，选B.答案：B3．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2010为()A．3B．－3C．6D．－6解析：由递推公式得an的值如下：363－3－6－3a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12…∴a2010＝a6×335＝a6＝－3.选B.答案：B4．观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…照此规律，第n个等式可为________．解析：本题考查归纳推理及等差数列的求和．把已知等式与行数对应起来，由题中的数字规律很容易得出第n个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·.答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·5．图3中由火柴杆拼成的一系列图形中，第n个图形由n个正方形组成：1图3通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n个图形中，火柴杆有________根．答案：133n＋1能力要求1．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线相互平行，任意三条不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则当n≥4时，f(n)＝()A.(n－1)(n＋2)B.(n－1)(n－2)C.(n＋1)(n＋2)D.(n＋1)(n－2)解析：画图知f(4)＝5，将n＝4代入选择肢知选D.答案：D2．将正整数排成下表：12345678910111213141516…则数表中的300应出现在第________行．()A．16B．17C．18D．19解析：由题表发现第n行的最后一个数为n2.而第17行的最后一个数是172＝289，∴300应出现在第18行．选C.答案：C3．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图4所示的三角形数：图4将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：2(1)b2012是数列{an}中的第________项；(2)b2k－1＝________.(用k表示)解析：归纳出{an}的通项是解题关键．(1)由图可知an＋1＝an＋(n＋1)(n∈N＋)．所以a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n.累加得an－a1＝2＋3＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝.当n＝4,5,9,10,14,15,19,20,24,25，…时，an能被5整除，即b2＝a5，b4＝a10，b6＝a15，b8＝a20，…，所以b2k＝a5k(k∈N＋)．所以b2012＝a5×1006＝a5030.(2)由(1)可知b2k－1＝a5k－1＝×5k(5k－1)＝.答案：(1)5030(2)4．如图5，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，过点A作BC的垂线，垂足为A1；过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，以此类推，设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________.解析：由题意可得＝sin45°，且a1＝2，a2＝，故a7＝.答案：5．如下表所示，将数以斜线作如下分群：(1)，(2,3)，(4,6,5)，(8,12,10,7)，(16,24,20,14,9)，…，并顺次称其为第1群，第2群，第3群，第4群，…，则第7群中的第2项是________；第n群中n个数的和是________.13579…26101418…412202836824405672164880112114…………………解析：由表知，表中第i行第j列aij＝2i－1(2j－1)，所以第7群第2项即6行2列，a62＝32×3＝96；第n群中n个数之和为Sn＝2n－1＋2n－2×3＋2n－3×5＋…＋2×(2n－3)＋(2n－1)，利用错位相消法求解Sn＝3×2n－2n－3.3答案：963×2n－2n－3拓展要求1．若数列{an}的前8项的值各异，且an＋8＝an，对任意的n∈N*都成立，则下列数列中可取遍{an}的前8项值的数列为()A．{a2k＋1}B．{a3k＋1}C．{a4k＋1}D．{a6k＋1}解析：由于2,3,4,6这四个数里，只有3和8互质，猜想a3k＋1可以取遍{an}的前8项的值．证明如下：当k＝1时，a3×1＋1＝a4；当k＝2时，a3×2＋1＝a7；k＝3时，a3×3＋1＝a10＝a2；当k＝4时，a3×4＋1＝a13＝a5；当k＝5时，a3×5＋1＝a16＝a8；k＝6时，a3×6＋1＝a19＝a3；当k＝7时，a3×7＋1＝a22＝a6；当k＝8时，a3×8＋1＝a25＝a1.故k取值从1到8时，取遍了a1到a8的值．答案：B2．把数列{2n＋1}(n∈N*)，依次按第1个括号一个数，第2个括号两个数，第3个括号三个数，第4个括号四个数，第5个括号一个数，…，循环为(3)，(5,7)，(9,11,13)，(15,17,19,21)，(23)，(25,27)，(29,31,33)，(35,37,39,41)，(43)，…，则第104个括号内各数之和为________．解析：∵104÷4＝26.∴第104个括号有4个数，该括号的最后一个数为2×260＋1＝521.∴第104个括号的各数之和为515＋517＋519＋521＝2072.答案：20724