课时作业18正态分布知识点一正态分布的有关概念1.设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有()A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2答案A解析根据正态分布密度曲线的性质：正态分布密度曲线是一条关于x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”，结合图象可知μ1<μ2，σ1<σ2.故选A.2．某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩服从正态分布，相应的正态曲线如图所示，则下列说法中正确的是()A．三科总体的标准差相同B．甲、乙、丙三科的总体的平均数不相同C．丙科总体的平均数最小D．甲科总体的标准差最小答案D解析由图象知甲、乙、丙三科的平均分一样，但标准差不同，σ甲＜σ乙＜σ丙．故选D.知识点二正态分布的性质3.已知X～N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X＞2)等于()A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4答案A解析因为P(X＞2)＋P(0≤X≤2)＋P(－2≤X≤0)＋P(X＜－2)＝1，P(X＞2)＝P(X＜－2)，P(0≤X≤2)＝P(－2≤X≤0)，所以P(X＞2)＝[1－2P(－2≤X≤0)]＝0.1.14．设随机变量X～N(1,22)，则D等于()A．4B．2C.D．1答案D解析因为X～N(1,22)，所以D(X)＝4，所以D＝D(X)＝1.知识点三正态分布的应用5.已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,25)．据此估计，大约应有57人的分数在区间()A．(90,110]内B．(95,125]内C．(100,120]内D．(105,115]内答案C解析＝0.95，故可得大约应有57人的分数在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内，即在区间(110－2×5,110＋2×5]内．6．某班同学共有48人，数学测验的分数服从正态分布，其平均分是80分，标准差是10分，则该班同学中成绩在70～90分的约有________人．答案33解析依题意，得μ＝80，σ＝10，所以P(70<ξ<90)＝P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，所以48×0.6826≈33(人)．即该班约有33人的成绩在70～90分．一、选择题1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的均值为()A．1B．－1C．0D．不确定答案C解析均值即为其对称轴，∴μ＝0.2．如图所示的是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()A．σ1＞1＞σ2＞σ3＞0B．0＜σ1＜σ2＜1＜σ3C．σ1＞σ2＞1＞σ3＞0D．0＜σ1＜σ2＝1＜σ3答案D解析当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝e在x＝0处取最大值，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”．故选D.3．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)等于()A．0.16B．0.32C．0.68D．0.842答案A解析由X～N(2，σ2)，得正态曲线的对称轴为直线x＝2，如图所示，可知P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16，故选A.4．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝()A．0.025B．0.050C．0.950D．0.975答案C解析ξ服从正态分布N(0,1)，则P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)，从而P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.5．一批电阻的电阻值X(Ω)服从正态分布N(1000,52)，现从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1011Ω和982Ω，可以认为()A．甲、乙两箱电阻均可出厂B．甲、乙两箱电阻均不可出厂C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂答案C解析 X～N(1000,52)，∴μ＝1000，σ＝5，∴μ－3σ＝1000－3×5＝985，μ＋3σ＝1000＋3×5＝1015. 1011∈(985,1015)，982∉(985,1015)，∴甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂．二、填空题6．设ξ～N(1,4)，那么P(3＜ξ＜5)＝________.答案0.1359解析因为ξ～N(1,4)，所以μ＝1，σ＝2，P(3＜ξ＜5)＝P(－3＜ξ＜－1)，则P(3＜ξ＜5)＝[P(－3＜ξ＜5)－P(－1≤ξ≤3)]＝[P(1－4＜ξ＜1＋4)－P(1－2≤ξ≤1＋2)]＝[P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)－P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)]＝(0.9544－0.6826)＝0.1359.7．若随机变量ξ～N(10，σ2)，若ξ在(5,10)上的概率等于a，...
