高中数学 第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例课时分层作业（含解析）新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学试题VIP专享VIP免费

课时分层作业(二十)(建议用时：40分钟)一、选择题1．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x,0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是()A．150B．200C．250D．300D[由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20000，0≤x≤390.P′(x)＝－＋300.由P′(x)＝0，得x＝300.当0≤x＜300时，P′(x)＞0；当300≤x≤390时，P′(x)＜0，所以当x＝300时，P(x)最大．故选D．]2．某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)＝x2(00，此时V(x)单调递增；当400)，则获得最大利润时的年产量为()A．1百万件B．2百万件C．3百万件D．4百万件C[依题意得，y′＝－3x2＋27＝－3(x－3)(x＋3)，当00；当x>3时，y′<0.因此，当x＝3时，该商品的年利润最大，故选C．]4．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高为()A．cmB．100cmC．20cmD．cmA[设圆锥的高为hcm，则V＝π(400－h2)×h，所以V′(h)＝π(400－3h2)．令V′(h)＝0，得h2＝，所以h＝.故选A．]5．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且销量Q与零售价P有如下关系：Q＝8300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()1A．30元B．60元C．28000元D．23000元D[毛利润为(P－20)Q，即f(P)＝(P－20)(8300－170P－P2)，f′(P)＝－3P2－300P＋11700＝－3(P＋130)(P－30)．令f′(P)＝0，得P＝30或P＝－130(舍去)．又P∈[20，＋∞)，故f(P)max＝f(P)极大值，故当P＝30时，毛利润最大，所以f(P)max＝f(30)＝23000(元)．]二、填空题6．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．3[设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，所以L＝.要使用料最省，只需使圆柱表面积最小．S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·，令S′表＝2πR－＝0，得R＝3，即当R＝3时，S表最小．]7．某厂生产某种商品x件的总成本c(x)＝1200＋x3(单位：万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为__________件时，总利润最大．25[设产品的单价为p万元，根据已知，可设p2＝，其中k为比例系数．因为当x＝100时，p＝50，所以k＝250000.所以p2＝，p＝，x>0.设总利润为y万元，y＝·x－1200－x3＝500－x3－1200.则y′＝－x2.令y′＝0，得x＝25.故当00，当x>25时，y′<0，所以，当x＝25时，函数y取得极大值，也是最大值．]8．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝－x＋8，x∈(0,120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以__________千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少．80[当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为y升，依题意得，y＝＝＋－(00，该函数递增，故当x＝80时，y取得最小值．]三、解答题9．某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10000平方米，该中心每块球场的建设面积为1000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该中心建球场x块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)＝800来刻画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？[解]设建成x个球场，则1≤x≤10，每平方米的购地费用为＝元，因为每平方米的平均建设费用可近似地用f(x)＝800来表示，所以每平方米的综合费用为g(x)＝f(x)＋＝800＋160lnx＋(x>0)...