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(京津鲁琼专用)高考数学二轮复习 第二部分 专题六 函数与导数 第4讲 导数与不等式练习(含解析)-人教版高三全册数学试题VIP免费

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第4讲导数与不等式证明不等式构造函数证明不等式:构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时,根据所要证明的不等式,构造与之相关的函数,利用函数单调性、极值、最值加以证明.常见的构造方法有:(1)直接构造法:证明不等式f(x)>g(x)(f(x)0(f(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x);(2)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩,二是利用常见的放缩结论,如lnx≤x-1,ex≥x+1,lnx0),≤ln(x+1)≤x(x>-1);(3)构造“形似”函数:稍作变形再构造,对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数,把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式,根据“相同结构”构造辅助函数;(4)构造双函数:若直接构造函数求导难以判断符号,导函数零点也不易求得,因此函数单调性与极值点都不易获得,则可构造函数f(x)和g(x),利用其最值求解.高考真题思维方法【直接构造法】(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=-x+alnx.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:<a-2.(1)略(2)证明:由(1)知,f(x)存在两个极值点时,当且仅当a>2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x11.由于=--1+a=-2+a=-2+a,所以1时,g′(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值点.【关键3:利用导数研究函数的单调性、最值】故当x>0时,g(x)≥g(1)=0.【关键4:利用函数最值使放缩后的不等式得到证明】因此,当a≥时,f(x)≥0.【构造双函数法】(2016·高考山东卷)已知f(x)=a(x-lnx)+,a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a=1时,证明f(x)>f′(x)+对于任意x∈[1,2]成立.(1)略(2)证明:由(1)知,a=1时,f(x)-f′(x)=x-lnx+-(1--+)=x-lnx++--1,x∈[1,2].【关键1:将所证不等式转化为构造双函数创造条件】设g(x)=x-lnx,h(x)=+--1,x∈[1,2].【关键2:构造函数,利用导数研究函数的单调性,求最小值】则f(x)-f′(x)=g(x)+h(x).由g′(x)=≥0,可得g(x)≥g(1)=1,当且仅当x=1时取得等号,又h′(x)=.设φ(x)=-3x2-2x+6,则φ(x)在x∈[1,2]上单调递减,因为φ(1)=1,φ(2)=-10,所以∃x0∈(1,2),使得x∈(1,x0)时,φ(x)>0,x∈(x0,2)时,φ(x)<0.所以h(x)在(1,x0)内单调递增,在(x0,2)内单调递减.由h(1)=1,h(2)=,可得h(x)≥h(2)=,当且仅当x=2时取得等号.所以f(x)-f′(x)>g(1)+h(2)=,即f(x)>f′(x)+对于任意的x∈[1,2]成立.【关键3:利用函数最值证明不等式】[典型例题](2019·四省八校双教研联考)已知函数f(x)=ax-axlnx-1(a∈R,a≠0).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当x>1时,求证:>-1.【解】(1)f′(x)=a-a(lnx+1)=-alnx,若a>0,则当x∈(0,1)时,f′(x)>0,当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;若a<0,则当x∈(0,1)时,f′(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.(2)证明:要证>-1,即证>e-x,即证1时,x-xlnx-1<0,即1时,lnx1,则F′(x)=ex-单调递增,所以F′(x)>F′(1)=e-1>0,所以F(x)在(1,+∞)上单调递增,所以F(x)>F(1),...

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