第四章数列4.3等比数列4.3.2等比数列的前n项和公式第2课时等比数列前n项和的性质及应用课后篇巩固提升基础达标练1.在各项都为正数的等比数列{an}中,首项a1=3,前3项和为21,则a3+a4+a5等于()A.33B.72C.84D.189解析由S3=a1(1+q+q2)=21,且a1=3,得q+q2-6=0.因为q>0,所以q=2.故a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22·S3=84.答案C2.(多选)(2019江苏高二期中)在公比q为整数的等比数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,若a1·a4=32,a2+a3=12,则下列说法正确的是()A.q=2B.数列{Sn+2}是等比数列C.S8=510D.数列{log2an}是公差为2的等差数列解析因为数列{an}为等比数列,又a1·a4=32,所以a2·a3=32.又a2+a3=12,所以{a2=4,a3=8,q=2或{a2=8,a3=4,q=12,又公比q为整数,则{a2=4,a3=8,q=2,即an=2n,Sn=2×(1-2n)1-2=2n+1-2,对于选项A,由上可得q=2,即选项A正确;对于选项B,Sn+2=2n+1,Sn+1+2Sn+2=2n+22n+1=2,则数列{Sn+2}是等比数列,即选项B正确;对于选项C,S8=29-2=510,即选项C正确;对于选项D,log2an+1-log2an=(n+1)-n=1,即数列{log2an}是公差为1的等差数列,即选项D错误.故选ABC.答案ABC3.已知等比数列{an}的前10项中,所有奇数项之和为8514,所有偶数项之和为17012,则S=a3+a6+a9+a12的值为()A.580B.585C.590D.595解析设等比数列{an}的公比为q,则由题意有{S偶S奇=q=2,S奇=a1[1-(q2)5]1-q2=8514,得{a1=14,q=2,∴S=a3+a6+a9+a12=a3(1+q3+q6+q9)=a1q2·1-q121-q3=585.答案B4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯.”意思是:一座七层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.2盏B.3盏C.5盏D.6盏解析设第七层有a盏灯,由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项,以2为公比的等比数列,由等比数列的求和公式可得a(1-27)1-2=381,解得a=3,故顶层有3盏灯.答案B5.已知一个等比数列共有3m项,若前2m项之和为15,后2m项之和为60,则这个等比数列的所有项的和为()A.63B.72C.75D.87解析由已知S2m=15,S3m-Sm=60,又(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)=Sm(Sm+60-S2m),解得Sm=3,所以S3m=60+3=63.答案A6.在各项均为正数的等比数列{an}中,a1=2,a2,a4+2,a5成等差数列,Sn是数列{an}的前n项和,则S10-S4=.解析依题意有2(a4+2)=a2+a5,设公比为q,则有2(2q3+2)=2q+2q4,解得q=2.于是S10-S4=2(1-210)1-2−2(1-24)1-2=2016.答案20167.已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),则S2018=.解析 an+1·an=2n(n∈N*),a1=1,∴a2=2,a3=2.又an+2·an+1=2n+1,∴an+2an=2,∴数列{an}的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为2,首项分别为1,2.∴S2018=(a1+a3+…+a2017)+(a2+a4+…+a2018)=21009-12-1+2(21009-1)2-1=3·21009-3.答案3·21009-38.已知一件家用电器的现价是2000元,如果实行分期付款,一年后还清,购买后一个月第一次付款,以后每月付款一次,每次付款数相同,共付12次,月利率为0.7%,并按复利计算,那么每期应付款元.(参考数据:1.00711≈1.080,1.00712≈1.087,1.0711≈2.105,1.0712≈2.252)解析设每期应付款x元,第n期付款后欠款An元,则A1=2000(1+0.007)-x=2000×1.007-x,A2=(2000×1.007-x)×1.007-x=2000×1.0072-1.007x-x,……A12=2000×1.00712-(1.00711+1.00710+…+1)x,因为A12=0,所以2000×1.00712-(1.00711+1.00710+…+1)x=0,解得x=2000×1.007121+1.007+…+1.00711=2000×1.007121.00712-11.007-1≈175,即每期应付款175元.答案1759.在等差数列{an}中,a2+a7=-23,a3+a8=-29.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{an+bn}是首项为1,公比为|a2|的等比数列,求{bn}的前n项和Sn.解(1)设等差数列{an}的公差为d,依题意得a3+a8-(a2+a7)=2d=-6,从而d=-3.所以a2+a7=2a1+7d=-23,解得a1=-1.所以数列{an}的通项公式为an=-3n+2.(2)由(1)得a2=-4,所以|a2|=4.而数列{an+bn}是首项为1,公比为4的等比数列.所以an+bn=4n-1,即-3n+2+bn=4n-1,所以bn=3n-2+4n-1,于是Sn=[1+4+7+…+(3n-2)]+(1+4+42+…+4n-1)=n(3n-1)2+1-4n1-4=n(3n-1)2+4n-13.10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=13Sn,n∈N*,求:(1)a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式;(2)a2+a4+a6+…+a2n的值.解(1)由a1=1,an+...
