课时作业20空间向量的数乘运算时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．如图，在平行六面体ABCDEFGH中，若AG＝xAB－2yBC＋3zDH，则x＋y＋z等于(C)A.B.C.D．1解析：易知AG＝AB＋AD＋CG＝AB＋BC＋DH，则x＝1，y＝－，z＝，故x＋y＋z＝.2．已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E是A1C1的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则AF＝(D)A.AA1＋AB＋ADB.AA1＋AB＋ADC.AA1＋AB＋ADD.AA1＋AB＋AD解析：如图所示，AF＝AE，AE＝AA1＋A1E，A1E＝A1C1，A1C1＝A1B1＋A1D1，A1B1＝AB，A1D1＝AD，所以AF＝(AA1＋A1C1)＝AA1＋AB＋AD，故选D.3．对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是(A)A．共面向量B．共线向量C．不共面向量D．既不共线也不共面的向量解析：∵2a－b＝2·a＋(－1)·b，∴2a－b与a，b共面．4．已知空间向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是(A)A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D解析：∵BD＝BC＋CD＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b，BA＝－AB＝－a－2b，∴BD＝－2BA，∴A，B，D三点共线，故选A.5．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，A1E＝A1C1，若AE＝xAA1＋y(AB＋AD)，则(D)A．x＝1，y＝B．x＝，y＝1C．x＝1，y＝D．x＝1，y＝解析：AE＝AA1＋A1E＝AA1＋A1C1＝AA1＋(AB＋AD)．所以x＝1，y＝.6．下列条件中使M与A、B、C一定共面的是(C)1A.OM＝2OA－OB－OCB.OM＝OA＋OB＋OCC.MA＋MB＋MC＝0D.OM＋OA＋OB＋OC＝0解析：C选项中MA＝－MB－MC，∴点M、A、B、C共面，故选C.7．在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若PA＝a，PB＝b，PC＝c，则BE＝(C)A.a－b＋cB.a－b－cC.a－b＋cD.a－b＋c解析：BE＝(BP＋BD)＝－PB＋(BA＋BC)＝－PB＋BA＋BC＝－PB＋(PA－PB)＋(PC－PB)＝－PB＋PA＋PC＝a－b＋c.故选C.8．如图是一平行六面体ABCDA1B1C1D1，E为BC延长线上一点，BC＝2CE，则D1E＝(B)A.AB＋AD＋AA1B.AB＋AD－AA1C.AB＋AD－AA1D.AB＋AD－AA1解析：取BC的中点F，连接A1F，则A1D1綊FE，所以四边形A1D1EF是平行四边形，所以A1F綊D1E，所以A1F＝D1E.又A1F＝A1A＋AB＋BF＝－AA1＋AB＋AD，所以D1E＝AB＋AD－AA1，故选B.二、填空题9．化简(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)＝a＋b－c.解析：原式＝a＋b－c＋a－b＋c－3a＋6b－3c＝a＋b＋c＝a＋b－c.10．如图，在空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA边上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则MN＝－a＋b＋c(用a，b，c表示)．解析：MN＝MO＋ON＝AO＋(OB＋OC)＝－OA＋OB＋OC＝－a＋b＋c.11．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由OP＝OA＋OB＋λOC确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝.2解析：根据P，A，B，C四点共面的条件，知存在实数x，y，z，使得OP＝xOA＋yOB＋zOC成立，其中x＋y＋z＝1，于是＋＋λ＝1，所以λ＝.三、解答题12．如图，在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简AG＋BE－AC，并在图中标出化简结果的向量．解：∵G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线，∴GE＝BE.又AC＝(DC－DA)＝DC－DA＝DE－DF＝FE，∴AG＋BE－AC＝AG＋GE－FE＝AF(如图所示)．13．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是线段AC的中点，N是线段A1B上的点，若MN∥平面B1BCC1，试确定点N的位置，并说明理由．解：设BN＝λBA1，因为MN∥平面B1BCC1，所以存在实数x，y，使得MN＝xBC＋yBB1.①又MN＝BN－BM＝λBA1－(BC＋BA)＝λ(BB1＋BA)－(BC＋BA)＝－BC＋λBB1＋(λ－)BA.②比较①②，可得λ＝，即点N是线段A1B的中点．——能力提升类——14．给出下列命题：①若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；③若AB，CD共线，则AB∥CD；④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．其中不正确命题的个数是(C)A．1B．2C．3D．4解析：显然①正确；若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故②错误；3若AB，CD共线，则直线AB，CD可能重合，故③错误；只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故④错误．故选C.15．如图，H为四棱锥PABCD的棱PC的三等分点，且PH＝HC，点G在AH上，且AG＝mAH，四边形ABCD为平行四边形，若B，G，P，D四点共面，求实数m的值．解：∵AB＝PB－PA，且AB＝DC，∴DC＝PB－PA.∵PC＝PD＋DC，∴PC＝PD＋PB－PA＝－PA＋PB＋PD.∵＝，∴PH＝PC＝(－PA＋PB＋PD)＝－PA＋PB＋PD.又AH＝PH－PA，∴AH＝－PA＋PB＋PD.∵＝m，∴AG＝mAH＝－PA＋PB＋PD.∵BG＝－AB＋AG＝PA－PB＋AG，∴BG＝(1－)PA＋(－1)PB＋PD.又B，G，P，D四点共面，∴1－＝0，解得m＝.4
