活页作业(二)绝对值不等式一、选择题1．设ab＞0，下面四个不等式中，正确的是()①|a＋b|＞|a|；②|a＋b|＜|b|；③|a＋b|＜|a－b|；④|a＋b|＞|a|－|b|.A．①和②B．①和③C．①和④D．②和④解析： ab＞0，∴a，b同号．∴|a＋b|＝|a|＋|b|.∴①和④正确．答案：C2．若|x|≤1时都有|ax＋b|≤1，下列不等式必成立的是()A．|a|≤|b|≤1B．|b|≤|a|≤1C．|a|≤1，|b|≤1D．|a|＋|b|≤1解析：取x＝0，得|b|≤1.再分别取x＝1，－1，得|a＋b|≤1，|a－b|≤1.故|2a|＝|(a＋b)＋(a－b)|≤|a＋b|＋|a－b|≤2.所以|a|≤1必成立．答案：C3．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为()A．5B．4C．8D．7解析：由题意，得|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.答案：A4．已知x∈R，y∈R，则|x|＜1，|y|＜1是|x＋y|＋|x－y|＜2的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件解析：若|x|＜1，|y|＜1，则当(x＋y)(x－y)≥0时，|x＋y|＋|x－y|＝|(x＋y)＋(x－y)|＝2|x|＜2；当(x＋y)(x－y)＜0时，|x＋y|＋|x－y|＝|(x＋y)＝－(x－y)|＝2|y|＜2.若|x＋y|＋|x－y|＜2，则2|x|＝|(x＋y)＋(x－y)|＜|x＋y|＋|x－y|＜2，即|x|＜1；2|y|＝|(x＋y)－(x－y)|＜|x＋y|＋|x－y|＜2，即|y|＜1.答案：D二、填空题5．已知|a＋b|＜－c(a，b，c∈R)，给出下列不等式：①a＜－b－c；②a＞－b＋c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的不等式是________(填序号)．解析： |a＋b|＜－c，∴c＜a＋b＜－c.1∴a＜－b－c，a＞－b＋c，①②成立． |a|－|b|≤|a＋b|＜－c，∴|a|＜|b|－c，④成立．答案：①②④6．有下列三个命题：①若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；②若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；③若|x|＜2，|y|＞3，则＜.其中真命题的序号是________.解析：① |a|－|b|≤|a－b|＜1，∴|a|＜|b|＋1.② |a＋b|－|a－b|≤|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|，∴|a＋b|－2|a|≤|a－b|.③ |y|＞3，∴＜. |x|＜2，∴＜.三个命题均是真命题．答案：①②③三、解答题7．求函数f(x)＝|x－4|－|x－3|的最大值，并求出取最大值时x的范围．解：f(x)＝|x－4|－|x－3|≤|(x－4)－(x－3)|＝1，当且仅当即x≤3时，函数f(x)取最大值1.8．已知函数f(x)＝x2－x＋c定义在区间[0,1]上，x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2，求证：(1)f(0)＝f(1)；(2)|f(x2)－f(x1)|＜|x1－x2|.证明：(1) f(0)＝c，f(1)＝c，∴f(0)＝f(1)．(2)|f(x2)－f(x1)|＝|x－x2＋c－x＋x1－c|＝|x2－x1||x2＋x1－1|. 0≤x1≤1,0≤x2≤1，x1≠x2，∴0＜x1＋x2＜2.∴－1＜x1＋x2－1＜1.∴|x2＋x1－1|＜1.∴|f(x2)－f(x1)|＜|x1－x2|.一、选择题1．设|a|＜1，|b|＜1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是()A．|a＋b|＋|a－b|＞2B．|a＋b|＋|a－b|＜2C．|a＋b|＋|a－b|＝2D．不能比较大小解析：当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|＜2；当(a＋b)(a－b)＜0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|＜2.答案：B2．若关于x的不等式x2＋|2x－6|≥a对于一切实数x均成立，则实数a的最大值是()A．7B．92C．5D．11解析：令f(x)＝x2＋|2x－6|，当x≥3时，f(x)＝x2＋2x－6＝(x＋1)2－7≥9；当x＜3时，f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5≥5.综上，函数f(x)的最小值为5.故原不等式恒成立，只需a≤5即可．从而实数a的最大值为5.答案：C二、填空题3．已知函数f(x)＝3x＋1，当|x－1|＜b时，有|f(x)－4|＜a，a＞0，b＞0，则a与b满足的关系是________.解析：因为|f(x)－4|＝|3x－3|＝3|x－1|＜a，所以|x－1|＜.又当|x－1|＜b时，有|f(x)－4|＜a，即当|x－1|＜b时，有|x－1|＜，所以b≤，即a－3b≥0.答案：a－3b≥04．已知α，β是实数，给出四个论断：①|α＋β|＝|α|＋|β|；②|α－β|≤|α＋β|；③|α|＞2，|β|＞2；④|α＋β|＞5.以其中的两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.解析：因为|α＋β|＝|α|＋|β|成立的条件为αβ≥0，当αβ≥0时，有|α＋β|≥|α－β|，若|α|＞2，|β|＞2，则|α＋...
