高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.6.2 求曲线的方程作业 苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学试题VIP专享VIP免费

2.6.2求曲线的方程[基础达标]已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，如果M是线段F1P的中点，则动点M的轨迹是________．解析：由图知PF1＋PF2＝2a.连结MO，则F1M＋MO＝a(a>F1O)．故M的轨迹是以F1、O为焦点的椭圆．答案：椭圆已知动点M到A(2，0)的距离等于它到直线x＝－1的距离的2倍，则点M的轨迹方程为________．解析：设M(x，y)，由题意，得＝2|x＋1|.化简，得－3x2－12x＋y2＝0.答案：y2＝3x2＋12x已知动抛物线以y轴为准线，且过点(1，0)，则抛物线焦点的轨迹方程为________．解析：设焦点坐标为(x，y)，因动抛物线以y轴为准线，且过点(1，0)，根据抛物线的定义得：＝1(x＞0)，即(x－1)2＋y2＝1(x＞0)．答案：(x－1)2＋y2＝1(x＞0)设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为________．解析：设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r.由两圆外切可得，圆心C到点(0，3)的距离为r＋1，也就是说，圆心C到点(0，3)的距离比到直线y＝0的距离大1，故点C到点(0，3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线．答案：抛物线设动点P在直线x＝1上，O为坐标原点，以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是________．解析：设Q(x，y)，P(1，y0)，由OQ·OP＝0知y0y＝－x.①又由OQ＝OP，得＝，即x2＋y2＝1＋y.②由①②消去y0，得点Q的轨迹方程为y＝1或y＝－1.故动点Q的轨迹是两条平行线．答案：两条平行线在平面直角坐标系中，A为平面内一个动点，B(2，0)，若OA·BA＝|OB|(O为坐标原点)，则动点A的轨迹是________．解析：设A(x，y)，则OA＝(x，y)，BA＝(x－2，y)，因为OA·BA＝|OB|，所以x(x－2)＋y2＝2，即(x－1)2＋y2＝3，所以动点A的轨迹是圆．答案：圆长度为1的线段AB在x轴上运动，点P(0，1)与点A连结成直线PA，点Q(1，2)与点B连结成直线QB，则直线PA与QB交点的轨迹方程为____________．解析：如图所示，设直线PA与QB的交点为M(x，y)．再设A(a，0)(a≠0)，则B(a＋1，0)．由截距式得直线PA的方程为＋＝1，即x＋ay＝a.由两点式得直线QB的方程为＝，即2x＋ay－2a－2＝0.故点M的坐标是方程组的解，消去参数a得(2－x)y＝2，故点M的轨迹方程为(2－x)y＝2.答案：(2－x)y＝2曲线C是平面内与两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：1①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是________．解析：设曲线C上任一点P(x，y)，由PF1·PF2＝a2，可得·＝a2(a＞1)，将原点(0，0)代入等式不成立，故①不正确． 点P(x，y)在曲线C上，点P关于原点的对称点P′(－x，－y)，将P′代入曲线C的方程等式成立，故②正确．设∠F1PF2＝θ，则S△F1PF2＝PF1·PF2·sinθ＝a2sinθ≤a2，故③正确．答案：②③△ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长是2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条定直线移动，求△ABC外心的轨迹方程．解：如图所示，以BC所在的定直线为x轴，以过A点与x轴垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则A点的坐标为(0，b)．设△ABC的外心为M(x，y)，作MN⊥BC于N，则MN是BC的垂直平分线． BC＝2a，∴BN＝a，MN＝|y|.又M是△ABC的外心，∴MA＝MB.而MA＝，MB＝＝，∴＝.化简，得所求轨迹方程为x2－2by＋b2－a2＝0.如图，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程．解：设P点坐标为(x，y)，双曲线上点Q的坐标为(x0，y0)，因为点P是线段QN的中点，所以N点的坐标为(2x－x0，2y－y0)．又点N在直线x＋y＝2上，所以2x－x0＋2y－y0＝2，即x0＋y0＝2x＋2y－2.①又QN⊥l，kQN＝＝1，即x0－y0＝x－y.②由①②，得x0＝(3x＋y－2)，y0＝(x＋3y－2)．又因为点Q在双曲线上，所以(3x＋y－2)2－(x＋3y－2)2＝1.化简，得(x－)2－(y－)2＝.所以线段QN的中点P的轨迹方程为(x－)2－(y－)2＝.[能力提升]设向量i，j为平面直角坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量a＝(x＋3)i＋yj，b＝(x－3)i＋yj，且|a|－|b|＝2，则满足上述条件的点P(x，y)的轨迹方程是________．解析：因为|a|－|b...