3.1.1空间向量及其加减运算课时跟踪检测一、选择题1．下列命题正确的有()①方向相反的两个向量是相反向量；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；③|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；④AB＝CD的充要条件是A与C重合，B与D重合．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：②③正确．答案：B2．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且AO＋OB＝DO＋OC，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．空间四边形C．等腰梯形D．矩形解析：∵AO＋OB＝DO＋OC，∴AB＝DC.∴AB∥DC且AB＝DC，∴四边形ABCD为平行四边形．答案：A3．(2019·甘肃武威十八中高二期末)空间中任意四个点A，B，C，D，则BA＋CB－CD等于()A.DBB．ADC.DAD．AC解析：利用平面向量运算法则即可得出，BA＋CB－CD＝CB＋BA＋DC＝DC＋CA＝DA.答案：C4．已知空间向量AB，BC，CD，AD，则下列结论正确的是()A.AB＝BC＋CDB.AB－DC＋BC＝ADC.AD＝AB＋BC＋DCD.BC＝BD－DC解析：B中，AB－DC＋BC＝AB＋BC＋CD＝AD.答案：B5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量AC1的共有()①(AB＋BC)＋CC1；②(AA1＋A1D1)＋D1C1；③(AB＋BB1)＋B1C1；④(AA1＋A1B1)＋B1C1.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：对于①，(AB＋BC)＋CC1＝AC＋CC1＝AC1；对于②，(AA1＋A1D1)＋D1C1＝AC1；对于③，(AB＋BB1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1；1对于④，(AA1＋A1B1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1.答案：D6．如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2，给出以下结论：①SA＋SB＋SC＋SD＝0；②SA＋SB－SC－SD＝0；③SA－SB＋SC－SD＝0.其中正确结论的个数是()A．0B．2C．1D．3解析：∵SA－SB＋SC－SD＝BA＋DC＝BA＋AB＝0.故③正确，同理可得①②不正确．答案：C二、填空题7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，化简AB－CD＋BC－DA的结果是________．解析：AB－CD＋BC－DA＝AB＋DC＋BC＋AD＝AB＋BC＋AD＋DC＝AC＋AC＝2AC.答案：2AC8．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，若CA＝a，CB＝b，CC1＝c，E是A1B的中点，则CE＝________(用a，b，c表示)．解析：CE＝(CA1＋CB)＝(CA＋CC1＋CB)＝(a＋b＋c)．答案：(a＋b＋c)9．已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，则下列四式中：①AB－CB＝AC；②AC′＝AB＋B′C′＋CC′；③AA′＝CC′；④AB＋BB′＋BC＋C′C＝AC′.正确式子的序号是________．解析：AB－CB＝AB＋BC＝AC，①正确；AB＋B′C′＋CC′＝AB＋BC＋CC′＝AC′，②③正确；AB＋BB′＋BC＋C′C＝AB′＋B′C′＋C′C＝AB′＋B′C＝AC，④不正确．答案：①②③三、解答题10．如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1.(1)单位向量有多少个？(2)模为3的向量有多少个？(3)写出与向量AD相等的向量；(4)写出与向量AA′相反的向量．解：(1)由于长方体中AA′＝1，则BB′＝CC′＝DD′＝1，故AA′，A′A，BB′，B′B，CC′，C′C，DD′，D′D都是单位向量，故单位向量有8个．2(2)由长方体的性质，知AB＝A′B′＝CD＝C′D′＝3，故向量AB，BA，A′B′，B′A′，CD，DC，C′D′，D′C′的模都为3，故模为3的向量有8个．(3)与向量AD相等的向量即与向量AD方向相同且长度为2的向量，有A′D′，BC，B′C′共3个．(4)与向量AA′相反的向量即与向量AA′方向相反且长度为1的向量，有A′A，B′B，C′C，D′D共4个．11．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，用a，b，c表示D1M.解：D1M＝D1D＋DM＝A1A＋(DA＋DC)＝c＋(－A1D1＋A1B1)＝a－b＋c.12．在如图所示的平行六面体中，求证：AC＋AB′＋AD′＝2AC′.证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴AC＝AB＋AD，AB′＝AB＋AA′，AD′＝AD＋AA′.∴AC＋AB′＋AD′＝(AB＋AD)＋(AB＋AA′)＋(AD＋AA′)＝2(AB＋AD＋AA′)．又AA′＝CC′，AD＝BC，∴AB＋AD＋AA′＝AB＋BC＋CC′＝AC＋CC′＝AC′.∴AC＋AB′＋AD′＝2AC′.13．(2019·重庆市万州三中月考)在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且DF＝αAB＋βAC，则()A．α＝，β＝－1B．α＝－，β＝1C．α＝1，β＝－D．α＝－1，β＝解析：根据向量加法的多边形法则以及已知可得，DF＝DC＋CB＋BF＝C1C＋CB＋BA1＝A1A＋AB－AC＋BA＋AA1＝AB－AC，∴α＝，β＝－1.答案：A34
