第4讲导数与不等式1．设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R
(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1
解：(1)由f(x)＝ex－2x＋2a(x∈R)，知f′(x)＝ex－2
令f′(x)＝0，得x＝ln2
当x0，故函数f(x)在区间(ln2，＋∞)上单调递增．所以f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处取得极小值f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2－2ln2＋2a，无极大值．(2)证明：要证当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1，即证当a>ln2－1且x>0时，ex－x2＋2ax－1>0
设g(x)＝ex－x2＋2ax－1(x≥0)．则g′(x)＝ex－2x＋2a，由(1)知g′(x)min＝g′(ln2)＝2－2ln2＋2a
又a>ln2－1，则g′(x)min>0
于是对∀x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R上单调递增．于是对∀x>0，都有g(x)>g(0)＝0
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1
2．(2019·贵阳模拟)已知函数f(x)＝mex－lnx－1
(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若m∈(1，＋∞)，求证：f(x)>1
解：(1)当m＝1时，f(x)＝ex－lnx－1，所以f′(x)＝ex－，所以f′(1)＝e－1，又因为f(1)＝e－1，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(e－1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x
(2)证明：当m>1时，f(x)＝mex－lnx－1>ex－lnx－1，要证明f(x)>1，只需证明ex－lnx－2>0，设g(x)＝ex－lnx－2，则g′(x)＝ex－(x>0)，设h(x)＝
